Verified answer

Дана функция у = 2х² - х⁴.

1.Область определенияфункции: x ∈ R, или -∞ < x < ∞.

2. Нули функции. Точкипересечения графика функции с осью ОХ.

2х² - х⁴ = 0,   х²(2 - х²) = 0. Тогда х² = 0 и (или) 2 - х² = 0.

x₁ = 0.

x₂ = √2.

х₃ = -√2.

Точки пересечения графика функции с осью ОУ при х = 0 ⇒ у = 0.

3. Промежутки знакопостоянствафункции.

Для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) надо решить неравенства f(x)>0, f(x)<0.

По пункту 2 имеем 4 промежутка значений аргумента, в которых функция сохраняет знак:

4. Симметрия графика(чётность или нечётность функции).

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
- x^{4} + 2 x^{2} = - x^{4} + 2 x^{2}
- Да
- x^{4} + 2 x^{2} = - -1 x^{4} - 2 x^{2}
- Нет
Значит, функция является чётной.

5. Периодичность графика - нет.

 6.Точки разрыва, поведениефункции в окрестностях точек разрыва, вертикальные асимптоты - нет.

7. Интервалы монотонностифункции, точки экстремумов, значения функции в точках экстремумов.

Находим производную заданной функции:

y' = 4x - 4x³.

Приравниваем производную нулю: 4x - 4x³ = 4x(1 - x²) = 0, 

4x = 0,  x = 0. 

x² = 1,  х = 1,  x = -1.
Критических точек три: х = 0, х = 1,  x = -1.
Находим значения производной левее и правее от критических.

x =  -2     -1    -0.5    0     0.5     1       2 
y' = 24      0    -1.5    0    1.5      0     -24.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. 
Убывает на промежутках (-oo, -1] U [0, oo).
Возрастает на промежутках (-oo, 0] U [1, oo).

8. Интервалы выпуклости,точки перегиба.

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: 
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0.
Вторая производная 4 \left(- 3 x^{2} + 1\right) = 0.
Решаем это уравнение.
Корни этого уравнения:
x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}
x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках [-sqrt(3)/3, sqrt(3)/3].

Выпуклая на промежутках (-oo, -sqrt(3)/3] U [sqrt(3)/3, oo).

9. Поведение функции вбесконечности. Наклонные (в частности, горизонтальные) асимптоты - нет.

10. Дополнительные точки,позволяющие более точно построить график.