Две плоскости перпендикулярны к третьей. Линии пересечения этих плоскостей с третьей плоскостью параллельны. Каково взаимное положение этих плоскостей?
Дано: α⊥γ и β⊥γ. а - линия пересечения плоскостей α и γ, b - линия пересечения плоскостей β и γ. a║b.
Доказать: α║β Доказательство: Проведем в плоскости γ прямую m, перпендикулярную параллельным прямым а и b. Затем в плоскостях α и β проведем перпендикуляры соответственно к прямой а и b через точки А и В. Получили линейные углы двугранных углов между плоскостями с вершинами в точках А и В. Плоскости перпендикулярны, значит с⊥m и d⊥m.
Итак, с⊥а и с⊥m, значит с⊥γ, d⊥b и d⊥m, значит d⊥γ, а два перпендикуляра к одной плоскости параллельны: с║d.
Получили: a║b, c║d, а если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны,значит α║β.
Answers & Comments
Verified answer
Дано:α⊥γ и β⊥γ.
а - линия пересечения плоскостей α и γ,
b - линия пересечения плоскостей β и γ.
a║b.
Доказать: α║β
Доказательство:
Проведем в плоскости γ прямую m, перпендикулярную параллельным прямым а и b.
Затем в плоскостях α и β проведем перпендикуляры соответственно к прямой а и b через точки А и В.
Получили линейные углы двугранных углов между плоскостями с вершинами в точках А и В.
Плоскости перпендикулярны, значит с⊥m и d⊥m.
Итак, с⊥а и с⊥m, значит с⊥γ,
d⊥b и d⊥m, значит d⊥γ, а два перпендикуляра к одной плоскости параллельны: с║d.
Получили: a║b, c║d, а если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны, значит
α║β.