б) [tex]\[{\mathop{\rm tg}\nolimits} y = xy + \ln xy;\][/tex]
Подразумеваем, что [tex]y = y(x),[/tex] дифференцируем обе части по [tex]x.[/tex]
Так, [tex]{\mathop{\rm tg}\nolimits} y(x)[/tex] — сложная функция, поэтому ее производная это сперва производная от тангенса, умноженная на производную от его аргумента [tex](y(x))[/tex]: [tex]({\mathop{\rm tg}\nolimits} y(x))' = \frac{1}{{{{\cos }^2}y}} \cdot y'.[/tex]
Находим производную xy как производную произведения: [tex](xy(x))' = (x)' \cdot y(x) + x \cdot y'(x) = y + xy'.[/tex]
Вместе получаем: [tex]\frac{{y'}}{{{{\cos }^2}y}} = y + xy' + \frac{1}{x} + \frac{{y'}}{y}.[/tex]
Выражаем [tex]y'[/tex] из последнего равенства. Можно преобразовать ответ, избавившись от «двухэтажных» дробей: [tex]y' = \frac{{y(xy + 1){{\cos }^2}y}}{{x(y - xy{{\cos }^2}y - {{\cos }^2}y)}}.[/tex]
в) [tex]y = {(\sin \sqrt x )^{\frac{1}{{{x^2}}}}};[/tex]
Прологарифмируем по натуральному основанию обе части данного равенства: [tex]\ln y = \frac{1}{{{x^2}}}\ln (\sin \sqrt x ).[/tex] Теперь найдем производную от обеих частей аналогично решению п. б).
[tex]\frac{{y'}}{y} = - \frac{2}{{{x^3}}}\ln (\sin \sqrt x ) + \frac{1}{{{x^2}}} \cdot \frac{1}{{\sin \sqrt x }} \cdot \cos \sqrt x \cdot \frac{1}{{2\sqrt x }};\\[/tex]
[tex]\frac{{y'}}{y} = \frac{{\sqrt x {\mathop{\rm ctg}\nolimits} \sqrt x - 4\ln (\sin \sqrt x )}}{{2{x^3}}};\\[/tex]
[tex]y' = y \cdot \frac{{\sqrt x {\mathop{\rm ctg}\nolimits} \sqrt x - 4\ln (\sin \sqrt x )}}{{2{x^3}}};\\[/tex]
[tex]y' = \frac{{{{(\sin \sqrt x )}^{\frac{1}{{{x^2}}}}}}}{{2{x^3}}} \cdot (\sqrt x {\mathop{\rm ctg}\nolimits} \sqrt x - 4\ln (\sin \sqrt x )).\\[/tex]
Answers & Comments
Пошаговое объяснение:
б) [tex]\[{\mathop{\rm tg}\nolimits} y = xy + \ln xy;\][/tex]
Подразумеваем, что [tex]y = y(x),[/tex] дифференцируем обе части по [tex]x.[/tex]
Так, [tex]{\mathop{\rm tg}\nolimits} y(x)[/tex] — сложная функция, поэтому ее производная это сперва производная от тангенса, умноженная на производную от его аргумента [tex](y(x))[/tex]: [tex]({\mathop{\rm tg}\nolimits} y(x))' = \frac{1}{{{{\cos }^2}y}} \cdot y'.[/tex]
Находим производную xy как производную произведения: [tex](xy(x))' = (x)' \cdot y(x) + x \cdot y'(x) = y + xy'.[/tex]
Производная логарифма — опять сложная функция: [tex](\ln xy)' = \frac{1}{{xy}} \cdot (xy)' = \frac{{y + xy'}}{{xy}} = \frac{1}{x} + \frac{{y'}}{y}.[/tex]
Вместе получаем: [tex]\frac{{y'}}{{{{\cos }^2}y}} = y + xy' + \frac{1}{x} + \frac{{y'}}{y}.[/tex]
Выражаем [tex]y'[/tex] из последнего равенства. Можно преобразовать ответ, избавившись от «двухэтажных» дробей: [tex]y' = \frac{{y(xy + 1){{\cos }^2}y}}{{x(y - xy{{\cos }^2}y - {{\cos }^2}y)}}.[/tex]
в) [tex]y = {(\sin \sqrt x )^{\frac{1}{{{x^2}}}}};[/tex]
Прологарифмируем по натуральному основанию обе части данного равенства: [tex]\ln y = \frac{1}{{{x^2}}}\ln (\sin \sqrt x ).[/tex] Теперь найдем производную от обеих частей аналогично решению п. б).
[tex]\frac{{y'}}{y} = - \frac{2}{{{x^3}}}\ln (\sin \sqrt x ) + \frac{1}{{{x^2}}} \cdot \frac{1}{{\sin \sqrt x }} \cdot \cos \sqrt x \cdot \frac{1}{{2\sqrt x }};\\[/tex]
[tex]\frac{{y'}}{y} = \frac{{\sqrt x {\mathop{\rm ctg}\nolimits} \sqrt x - 4\ln (\sin \sqrt x )}}{{2{x^3}}};\\[/tex]
[tex]y' = y \cdot \frac{{\sqrt x {\mathop{\rm ctg}\nolimits} \sqrt x - 4\ln (\sin \sqrt x )}}{{2{x^3}}};\\[/tex]
[tex]y' = \frac{{{{(\sin \sqrt x )}^{\frac{1}{{{x^2}}}}}}}{{2{x^3}}} \cdot (\sqrt x {\mathop{\rm ctg}\nolimits} \sqrt x - 4\ln (\sin \sqrt x )).\\[/tex]