Ответ: =1010/1011

Объяснение:

Обратим внимание, что знаменатель каждой дроби есть сумма арифметической прогрессии с первым членом а1=1 и разностью 1

Но начинается этот ряд со второго члена  1+2

Добавим и вычтем из данного ряда 1

Получим

- 1/1 + 1/1 +1/(1+2)+1/(1+2+3)+...+(1/1+2+3+...+2021)

Выразим знаменатель n-ого члена данного ряда  =n(n+1)/2, используя формулу суммы арифметической прогрессии.

Т.е n-ый член ряда имеет вид 2/(n*(n+1))

Представим его как сумму двух дробей. Для этого можем использовать метод неопределенных коэффициентов.

[tex]\frac{2}{n(n+1)} =\frac{A}{n} +\frac{B}{n+1} \\= > A*n +B*n+A=2\\= > (A+B)*n+A=2\\= > A+B=0 ; A=2 = > B=-2\\= > \frac{2}{n(n+1)} =\frac{2}{n} +\frac{-2}{n+1} \\\\= > \frac{1}{1} = \frac{2}{1} -\frac{2}{2} \\\frac{1}{1+2} =\frac{2}{2} -\frac{2}{3} \\\\\frac{1}{1+2+3} =\frac{2}{3} -\frac{2}{4} \\\\\frac{1}{1+2+3+4} =\frac{2}{4} -\frac{2}{5} \\\\[/tex]

Тогда вся сумма выглядит как

-1 +(2-1)+(1-2/3)+(2/3-2/4)+(2/4-2/5)+...+(2/2020-2/2021 +2/2021-2/2022)

Заметим, что при суммировании останутся только

-1+2-2/2022= 1-2/2022=2020/2022=1010/1011

В общем случае сумма ряда равна 1-2/(n+2)

n- номер слагаемого в сумме.

Проверяем для n=1

S(1) =1-  2/(1+2)=1/3  - верно

Проверяем для n=2

S(2)=1-2/(2+2)= 1/2     1/3+1/6=1/2 -  верно

Проверяем для n=3

S(3)=1-2/(3+2)= 3/5     1/3+1/6+1/10=3/5 -  верно

Последний член в данной сумме имеет номер 2020

S(2020)=1-2/(2020+2)=1-2/2022 =2020/2022=1010/1011

Среди предлагаемых ответов нужного 1010/1011 нет, но проверка показала, что найденная формула n- ого члена верна