Ответ:

Пошаговое объяснение:

1/2² + 1/3² + 1/4² + . . . + 1/n² < 1 ; n ≥ 2 .

Маємо суму членів послідовності ( а ₙ ) , а ₙ= 1/n² . Розглянемо послідовність

( b ₙ ) , b ₙ= 1 - 1/n . Покажемо , що вона обмежуюча ( мажорантна ) для ( а ₙ )

при n ≥ 2 :

при n = 2 a ₂ = 1/2²< b₂ = 1 - 1/2 - правильно ;

індукційний перехід : a (k) - a (k -1) = 1/k² ; b (k) - b (k -1) = 1/k( k - 1 ) , тобто

a (k) - a (k -1) < b (k) - b (k -1) . Звідси логічний висновок : для будь - якого n ≥ 2

( nЄ N ) виконується нерівність а ₙ < b ₙ = 1 - 1/n .