Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки равностороннего треугольника до его сторон постоянная (одинакова) и равна высоте этого треугольника.
Докажем, что сумма расстояний от точки P до сторон треугольника равна высоте треугольника. Построим высоту CH, опущенную из вершины C треугольника ABC на сторону AB.
Рассмотрим отрезки PH и CH. В треугольнике PCH, угол PCH является прямым, так как PH перпендикулярно стороне AB, и CH - высота треугольника ABC. Также угол PCH является остроугольным углом, поскольку точка P находится внутри треугольника ABC.
Теперь рассмотрим треугольник ACP. Угол ACP также является прямым, так как AC - сторона равностороннего треугольника ABC, и угол ACB равен 60 градусам. Угол ACP является остроугольным углом, так как точка P находится внутри треугольника ABC.
Из прямоугольности угла PCH и остроугольности угла ACP следует, что угол CPH является остроугольным углом.
Теперь рассмотрим треугольник BCP. Угол BCP также является прямым, так как BC - сторона равностороннего треугольника ABC, и угол BCA равен 60 градусам. Угол BCP является остроугольным углом, так как точка P находится внутри треугольника ABC.
Из прямоугольности угла PCH и остроугольности угла BCP следует, что угол CBP является остроугольным углом.
Таким образом, в треугольнике ABC выполняются следующие соотношения: угол ACP острый, угол CPH прямой и угол CBP острый. Следовательно, точка P лежит на отрезке CH и расстояние от точки P до стороны AB равно расстоянию от точки P до высоты CH.
Аналогично можно доказать, что расстояние от точки P до сторон BC и AC равно расстоянию от точки P до высоты треугольника ABC.
Следовательно, сумма расстояний от точки P до сторон равностороннего треугольника
Answers & Comments
Докажем, что сумма расстояний от точки P до сторон треугольника равна высоте треугольника. Построим высоту CH, опущенную из вершины C треугольника ABC на сторону AB.
Рассмотрим отрезки PH и CH. В треугольнике PCH, угол PCH является прямым, так как PH перпендикулярно стороне AB, и CH - высота треугольника ABC. Также угол PCH является остроугольным углом, поскольку точка P находится внутри треугольника ABC.
Теперь рассмотрим треугольник ACP. Угол ACP также является прямым, так как AC - сторона равностороннего треугольника ABC, и угол ACB равен 60 градусам. Угол ACP является остроугольным углом, так как точка P находится внутри треугольника ABC.
Из прямоугольности угла PCH и остроугольности угла ACP следует, что угол CPH является остроугольным углом.
Теперь рассмотрим треугольник BCP. Угол BCP также является прямым, так как BC - сторона равностороннего треугольника ABC, и угол BCA равен 60 градусам. Угол BCP является остроугольным углом, так как точка P находится внутри треугольника ABC.
Из прямоугольности угла PCH и остроугольности угла BCP следует, что угол CBP является остроугольным углом.
Таким образом, в треугольнике ABC выполняются следующие соотношения: угол ACP острый, угол CPH прямой и угол CBP острый. Следовательно, точка P лежит на отрезке CH и расстояние от точки P до стороны AB равно расстоянию от точки P до высоты CH.
Аналогично можно доказать, что расстояние от точки P до сторон BC и AC равно расстоянию от точки P до высоты треугольника ABC.
Следовательно, сумма расстояний от точки P до сторон равностороннего треугольника
Объяснение:
Вроді об'яснив