[tex]\LARGE \text{ \boxed{ \boldsymbol{ V = 60} }}[/tex] кубических единиц
Объем второй пирамиды равен 60 кубических единиц
Пошаговое объяснение:
Дано: SABC - пирамида (S - вершина пирамиды), ∠ACB = 60°, AC = 16, BC = 10, SAC ⊥ ABC, SAB ⊥ ABC, SA = [tex]6\sqrt{3}[/tex], SM = MB
Построить: пирамиду с вершиной C основанием, которой является сечение пирамиды SABC плоскостью, проходящей через точку M параллельно прямым BC и AS
Найти: [tex]V \ - \ ?[/tex]
План построения:
Через точку M проведем прямые параллельные SA и BC, пусть данные прямые пересекают отрезки AB и SC в точка K и T соответственно, то есть KM║AS, MT║BC.
Через точку K проведем прямую параллельную BC и пусть данная прямая пересекает AC в точке P, тогда по построению KP║BC.
По аксиоме стереометрии (аксиома прямой и плоскости)прямая, проходящая через две точки плоскости, лежит в этой плоскости, тогда:
Так как M,K ∈ SAB, то MK ⊂ SAB
Так как M,T ∈ SBC, то MT ⊂ SBC
Так как K,C ∈ ABC, то KC ⊂ ABC
Так как M,C ∈ SBC, то MC ⊂ SBC
Так как K,P ∈ ABC, то KP ⊂ ABC
По теореме Фалеса:
(угол ∠SBA) так как по условию BM = MS и KM║AS по построению, то BK = KA.
(угол ∠BAC) так как BK = KA и KP║BC по построению, то
AP = PC.
(угол ∠SBC) так как по условию BM = MS и MT║BC по построению, то ST = TC.
Так как MT║BC и PK║BC, то по свойству транзитивности параллельных прямых MT║PK.
Так как ST = TC и AP = PC, то по определению отрезок PT - средняя линия в треугольнике ΔSAC, тогда по свойствам средней линии она параллельна стороне треугольника с которой не имеет общих точек, то есть PT║SA.
Так как PT║SA и MK║SA, то по свойству транзитивности параллельных прямых PT║MK.
Так как PT║MK иMT║PK, то по определению четырехугольник
KMTP - параллелограмм.
По следствию из аксиом стереометриичерез две параллельныепрямые можно провести плоскость и притом только одну, тогда так как MT║PK, то данные прямые однозначно задают плоскость KMT (точка P ∈ KMT).
По теореме если прямая, которая не принадлежит данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, которая лежит в этой плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости, так как KP║BC по построению и BC ⊄ KMT, то BC║KMT, аналогично так как PT║AS и AS ⊄ KMT, то AS║KMT.
Тогда так как AS║KMT и BC║KMT, то сечение пирамиды SABC плоскостью, проходящей через точку M параллельно прямым BC и AS является четырехугольник KMTP.
Так как точка С ∉ MKT, то многогранник CKMTP - является фигурой требуемой по построению, то есть пирамидой.
Решение:
По аксиоме стереометрии (аксиома пересечения плоскостей)если две плоскости имеют общую точку то их пересечение есть прямая,
тогда по следствию из данной аксиомы:
Так как A ∈ SAB,SAC и S ∈ SAB,SAC ,то SAB ∩ SAC = SA
По теореме есликаждая из двух плоскостей, которые пересекаются перпендикулярна к третьей плоскости, то прямая их пересечения перпендикулярна к этой плоскости, так как SAB ∩ SAC = SA и по условию SAC ⊥ ABC, SAB ⊥ ABC, тогда SA ⊥ ABC.
Из точки C проведем перпендикуляр к прямой PK в точку H, то есть CH ⊥ PK, следовательно треугольник ΔHPC - прямоугольный.
По аксиоме стереометрии (аксиома прямой и плоскости)прямая, проходящая через две точки плоскости, лежит в этой плоскости, тогда так как по построению H ∈ PK и PK ⊂ ABC, то H ∈ ABC, а также C ∈ ABC, следовательно HC ⊂ ABC.
По теоремеесли одна из двух параллельных прямых перпендикулярна данной плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна этой плоскости, тогда так как PT║SA и SA ⊥ ABC, то PT ⊥ ABC.
По определениюпрямая перпендикулярная к плоскости перпендикулярна к любой прямой лежащей в этой плоскости, то так как SA ⊥ ABC и HC ⊂ ABC, то SA ⊥ HC, аналогично так как PT ⊥ ABC и PK ⊂ ABC, то PT ⊥ PK.
По теореме (признак перпендикулярности прямой и плоскости) если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то оно перпендикулярна этой плоскости, тогда так как CH ⊥ PT и по построению CH ⊥ PK, то CH ⊥ KPT.
Рассмотрим параллелограмм PTMK. По теоремеесли один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм - прямоугольник, так как TP ⊥ KP и PTMK - параллелограмм, то PTMK - прямоугольник.
Так как BK = KA и AP = PC, то по определению отрезок PK - средняя линия в треугольнике ΔABC,тогда по определению средней линии
AP = PC.
По свойствам средней линии она равна половине стороны треугольника с которой не имеет общих точек, тогда так как PK - средняя линия в треугольнике ΔABC (PK║BC),то
PK = BC : 2 = 10 : 2 =5, аналогично PT - средняя линия в треугольнике ΔSAC (PT║SA), то PT = SA : 2 = [tex]6\sqrt{3} : 2 = 3\sqrt{3}[/tex].
Так как по основному свойству отрезка AC = AP + PC и AP = PC, то AP = PC = AC : 2 = 16 : 2 = 8.
Так как PTMK - прямоугольник, то по формуле площади прямоугольника: [tex]\boldsymbol{ S_{PTMK}} = KP \cdot TP = 5 \cdot 3\sqrt{3} = \boldsymbol{ 15\sqrt{3} }[/tex] квадратных единиц.
По теореме угол ∠ACB = ∠CPH = 60° как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей, так как PK║BC и AC - секущая.
В основании пирамиды SАВС лежит треугольник АВС, в котором угол С = 60º, АС = 16 , BC = 10. Боковые грани SAC и SAB перпендикулярны плоскости основания пирамиды, а ребро SА равно 6√3. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра SB параллельно прямым ВС и АS, является основанием второй пирамиды, вершина которой в точке С.
Найдите объем второй пирамиды.
Дано: SАВС - пирамида;
ΔАВС - основание;
∠С = 60°; АС = 16; BC = 10; SА = 6√3.
ΔSAC ⊥ ΔАВС; ΔSAB ⊥ ΔАВС.
Р - середина SB;
Сечение МПТК, проходящее через точку Р, параллельно прямым ВС и АS.
МПТК - основание пирамиды СМПТК.
Найти: V (СМПТК)
Решение:
Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Если две плоскости, перпендикулярные к третьей плоскости, пересекаются, то их линия пересечения есть перпендикуляр к этой плоскости.
⇒ ΔASB - прямоугольный.
SP = PB (условие)
МРТК || AS ⇒ MP || AS
Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.
⇒ МР - средняя линия ΔASB.
Средняя линия равна половине длины стороны, которую она не пересекает.
⇒ МР = SA : 2 = 6√3 : 2 = 3√3.
2. Рассмотрим ΔCSB.
SP = PB (условие)
МРТК || BC ⇒ PT || BC
⇒ средняя линия ΔCSB.
PT = CB : 2 = 10 : 2 = 5
3. Найдем площадь МРТК - основания пирамиды СМПТК.
Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон.
S (МРТК) = MP · PT = 3√3 · 5 = 15√3
4. Найдем сторону АВ из ΔАВС по теореме косинусов.
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.
АВ² = АС² + ВС² - 2 · АС · ВС · cos60°
АВ² = 256 + 100 - 2 · 16 · 10 · 0,5 = 196
АВ = √196 = 14
АМ = МВ = 14 : 2 = 7 (МР - средняя линия)
5. Высота СМПТК будет равна высоте трапеции СКМВ, так как расстояния между двумя параллельными прямыми равны.
Answers & Comments
Ответ:
[tex]\LARGE \text{ \boxed{ \boldsymbol{ V = 60} }}[/tex] кубических единиц
Объем второй пирамиды равен 60 кубических единиц
Пошаговое объяснение:
Дано: SABC - пирамида (S - вершина пирамиды), ∠ACB = 60°, AC = 16, BC = 10, SAC ⊥ ABC, SAB ⊥ ABC, SA = [tex]6\sqrt{3}[/tex], SM = MB
Построить: пирамиду с вершиной C основанием, которой является сечение пирамиды SABC плоскостью, проходящей через точку M параллельно прямым BC и AS
Найти: [tex]V \ - \ ?[/tex]
План построения:
Через точку M проведем прямые параллельные SA и BC, пусть данные прямые пересекают отрезки AB и SC в точка K и T соответственно, то есть KM║AS, MT║BC.
Через точку K проведем прямую параллельную BC и пусть данная прямая пересекает AC в точке P, тогда по построению KP║BC.
По аксиоме стереометрии (аксиома прямой и плоскости) прямая, проходящая через две точки плоскости, лежит в этой плоскости, тогда:
По теореме Фалеса:
AP = PC.
Так как MT║BC и PK║BC, то по свойству транзитивности параллельных прямых MT║PK.
Так как ST = TC и AP = PC, то по определению отрезок PT - средняя линия в треугольнике ΔSAC, тогда по свойствам средней линии она параллельна стороне треугольника с которой не имеет общих точек, то есть PT║SA.
Так как PT║SA и MK║SA, то по свойству транзитивности параллельных прямых PT║MK.
Так как PT║MK и MT║PK, то по определению четырехугольник
KMTP - параллелограмм.
По следствию из аксиом стереометрии через две параллельные прямые можно провести плоскость и притом только одну, тогда так как MT║PK, то данные прямые однозначно задают плоскость KMT (точка P ∈ KMT).
По теореме если прямая, которая не принадлежит данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, которая лежит в этой плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости, так как KP║BC по построению и BC ⊄ KMT, то BC║KMT, аналогично так как PT║AS и AS ⊄ KMT, то AS║KMT.
Тогда так как AS║KMT и BC║KMT, то сечение пирамиды SABC плоскостью, проходящей через точку M параллельно прямым BC и AS является четырехугольник KMTP.
Так как точка С ∉ MKT, то многогранник CKMTP - является фигурой требуемой по построению, то есть пирамидой.
Решение:
По аксиоме стереометрии (аксиома пересечения плоскостей) если две плоскости имеют общую точку то их пересечение есть прямая,
тогда по следствию из данной аксиомы:
По теореме если каждая из двух плоскостей, которые пересекаются перпендикулярна к третьей плоскости, то прямая их пересечения перпендикулярна к этой плоскости, так как SAB ∩ SAC = SA и по условию SAC ⊥ ABC, SAB ⊥ ABC, тогда SA ⊥ ABC.
Из точки C проведем перпендикуляр к прямой PK в точку H, то есть CH ⊥ PK, следовательно треугольник ΔHPC - прямоугольный.
По аксиоме стереометрии (аксиома прямой и плоскости) прямая, проходящая через две точки плоскости, лежит в этой плоскости, тогда так как по построению H ∈ PK и PK ⊂ ABC, то H ∈ ABC, а также C ∈ ABC, следовательно HC ⊂ ABC.
По теореме если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна данной плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна этой плоскости, тогда так как PT║SA и SA ⊥ ABC, то PT ⊥ ABC.
По определению прямая перпендикулярная к плоскости перпендикулярна к любой прямой лежащей в этой плоскости, то так как SA ⊥ ABC и HC ⊂ ABC, то SA ⊥ HC, аналогично так как PT ⊥ ABC и PK ⊂ ABC, то PT ⊥ PK.
По теореме (признак перпендикулярности прямой и плоскости) если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то оно перпендикулярна этой плоскости, тогда так как CH ⊥ PT и по построению CH ⊥ PK, то CH ⊥ KPT.
Рассмотрим параллелограмм PTMK. По теореме если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм - прямоугольник, так как TP ⊥ KP и PTMK - параллелограмм, то PTMK - прямоугольник.
Так как BK = KA и AP = PC, то по определению отрезок PK - средняя линия в треугольнике ΔABC, тогда по определению средней линии
AP = PC.
По свойствам средней линии она равна половине стороны треугольника с которой не имеет общих точек, тогда так как PK - средняя линия в треугольнике ΔABC (PK║BC), то
PK = BC : 2 = 10 : 2 = 5, аналогично PT - средняя линия в треугольнике ΔSAC (PT║SA), то PT = SA : 2 = [tex]6\sqrt{3} : 2 = 3\sqrt{3}[/tex].
Так как по основному свойству отрезка AC = AP + PC и AP = PC, то AP = PC = AC : 2 = 16 : 2 = 8.
Так как PTMK - прямоугольник, то по формуле площади прямоугольника: [tex]\boldsymbol{ S_{PTMK}} = KP \cdot TP = 5 \cdot 3\sqrt{3} = \boldsymbol{ 15\sqrt{3} }[/tex] квадратных единиц.
По теореме угол ∠ACB = ∠CPH = 60° как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей, так как PK║BC и AC - секущая.
Продолжение решения смотрите на фотографии!!!
Ответ:
Объем второй пирамиды равен 60 ед.²
Пошаговое объяснение:
В основании пирамиды SАВС лежит треугольник АВС, в котором угол С = 60º, АС = 16 , BC = 10. Боковые грани SAC и SAB перпендикулярны плоскости основания пирамиды, а ребро SА равно 6√3. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра SB параллельно прямым ВС и АS, является основанием второй пирамиды, вершина которой в точке С.
Найдите объем второй пирамиды.
Дано: SАВС - пирамида;
ΔАВС - основание;
∠С = 60°; АС = 16; BC = 10; SА = 6√3.
ΔSAC ⊥ ΔАВС; ΔSAB ⊥ ΔАВС.
Р - середина SB;
Сечение МПТК, проходящее через точку Р, параллельно прямым ВС и АS.
МПТК - основание пирамиды СМПТК.
Найти: V (СМПТК)
Решение:
Построим сечение МПТК || ВС и АС.
PT || BC; MK || BC;
MP || AS; TK || AS
⇒ МПТК - параллелограмм;
AS ⊥ ΔABC ⇒ PM ⊥ ΔABC
⇒ МПТК - прямоугольник.
Объем пирамиды найдем по формуле:
[tex]\displaystyle \boxed {V=\frac{1}{3}S_{OCH}\cdot{H} }[/tex]
1. Рассмотрим ΔASB.
⇒ ΔASB - прямоугольный.
SP = PB (условие)
МРТК || AS ⇒ MP || AS
⇒ МР - средняя линия ΔASB.
⇒ МР = SA : 2 = 6√3 : 2 = 3√3.
2. Рассмотрим ΔCSB.
SP = PB (условие)
МРТК || BC ⇒ PT || BC
⇒ средняя линия ΔCSB.
PT = CB : 2 = 10 : 2 = 5
3. Найдем площадь МРТК - основания пирамиды СМПТК.
S (МРТК) = MP · PT = 3√3 · 5 = 15√3
4. Найдем сторону АВ из ΔАВС по теореме косинусов.
АВ² = АС² + ВС² - 2 · АС · ВС · cos60°
АВ² = 256 + 100 - 2 · 16 · 10 · 0,5 = 196
АВ = √196 = 14
АМ = МВ = 14 : 2 = 7 (МР - средняя линия)
5. Высота СМПТК будет равна высоте трапеции СКМВ, так как расстояния между двумя параллельными прямыми равны.
Проведем высоты МН и КЕ.
ЕКМН - прямоугольник.
⇒ МК = НЕ = 5
СЕ + НВ = 10 - 5 = 5
Пусть СЕ = х, тогда НВ = 5 - х; КЕ = МН = h
По теореме Пифагора:
из ΔКЕС:
h² = KC² - CE² = 64 - x² (1)
из ΔМВН
h² = MB² - (5-x)² = 49 - 25 + 10x - x² = 24 + 10x - x² (2)
Приравняем (1) и (2):
64 - x² = 24 + 10x - x²
10х = 40
х = 4
СЕ = 4, НВ = 5 - 4 = 1
Тогда h² = 64 - 16 = 48
h = 4√3
6. Теперь найдем объем:
[tex]\displaystyle V=\frac{1}{3}\cdot15\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3}=60[/tex]
Объем второй пирамиды равен 60 ед.²