Угловой коэффициент касательной численно равен значению производной в точке касания.

Сразу отметим, что задачу можно попробовать решить графически, то есть изобразить параболу [tex]f(x)=5+4x-3x^2[/tex] и, перемещая прямую вида [tex]y=-5x+a[/tex] определить, при каком значении [tex]a[/tex] эта прямая является касательной и какая точка является точкой касания. Но такое решение скорее будет приблизительным, потому как даже если будет получена некоторая точка касания с "точными" координатами, потребуется выполнить проверку на то, что это действительно точка касания.

Поэтому решаем задачу аналитически. Находим производную заданной функции:

[tex]f'(x)=0+4-3\cdot2x=4-6x[/tex]

Находим значение производной в точке касания [tex]x_0[/tex]:

[tex]f'(x_0)=4-6x_0[/tex]

Как было отмечено, эта величина равна угловому коэффициенту касательной:

[tex]4-6x_0=-5[/tex]

[tex]-6x_0=-5-4[/tex]

[tex]-6x_0=-9[/tex]

[tex]x_0=1.5[/tex]

Определяем ординату точки касания:

[tex]y_0=f(x_0)=5+4\cdot1.5-3\cdot1.5^2=5+6-6.75=4.25[/tex]

Ответ: (1.5; 4.25)