Дано:

Четырёхугольник ABCD — параллелограмм (не прямоугольник!).

Точка Е Є ВС.

ВЕ : ЕС = 2 : 3.

Отрезки BD и АЕ пересекаются в точке М.

МD = 15 см.

Найти:

BD = ?

Решение:

Пусть отрезок ВЕ = 2х, тогда отрезок ЕС = 3х.

Тогда ВС = ВЕ+ЕС = 2х+3х = 5х.

ВС = AD = 5x (по свойству параллелограмма).

Рассмотрим ∆ВЕМ и ∆AMD.

Так как отрезок ВЕ лежит на стороне ВС, а ВС||AD (по определению параллелограмма), то отрезок ВЕ||AD.

<ВМЕ = <AMD (так как вертикальные).

<MAD = <MEB (накрест лежащие углы при параллельных прямых ВЕ и AD).

Тогда —

∆ВЕМ ~ ∆AMD по двум равным углам (первый признак подобия треугольников).

Отношение сходственных сторон равно коэффициенту подобия. Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

То есть —

AD / BE = k

5x / 2x = k

k = 2,5.

Обозначим ВМ за у.

у и MD — сходственные стороны.

Тогда —

MD / y = k

15 см / у = 2,5

2,5у = 15 см

у = 6 см.

ВD = BM+MD = y+15 см = 6 см+15 см = 21 см.

Ответ:

D) 21 см.