y = x/(x + 3)

Исследовать функцию

|. Область определения:

x + 3 ≠ 0

x≠ -3

D (ƒ) = ℝ | x ≠ -3

||. Область значений:

E (ƒ) = ℝ

|||. Чётность:

ƒ (-x) = -x/(-x + 3) = -(x/x - 3)

ƒ (-x) ≠ - ƒ (x)

ƒ (-x) ≠ ƒ (x)

⇒ функция не является ни чётной, ни нечётной

|V. Нули функции:

ƒ (x) = 0

x/(x + 3) = 0

x = 0

V. Промежутки знакопостоянства:

x/(x + 3) = 0

x = 0

⇒ ƒ (x) > 0 на (0; +∞)

ƒ (x) < 0 на (-∞; 0)

V|. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума:

ƒ’ (x) = ((x)’•(x + 3) - x • (x + 3)’)/(x + 3)² = (x + 3 - x)/(x² + 6x + 9) = 3/(x² + 6x + 9)

lim ƒ’ (x) = -3

x —> 0

ƒ (x) ↑ на (-∞; -3) ⋃ (-3; + ∞)

V||. Точки перегиба:

ƒ’’ (x) = (3’ • (x +3)² - 3 • ((x + 3)²)’)/((x + 3)²)² = (-3 • (2x + 6))/(x + 3)⁴ = (-6x - 9)/(x + 3)⁴ = (-3(2x + 3))/(x + 3)⁴

Точек перегиба нет, так как ƒ (x) возрастающая