Хэлп! Даю 40 баллов! Меня интересует очень подробное решение двух уравнений, что...

July 2022 1 5 Report

Хэлп! Даю 40 баллов! Меня интересует очень подробное решение двух уравнений, чтобы понять. Как можно подробнее, с пояснениями, какую формулу используете и как понять какую именно надо. Ну, тоесть все детали должны быть написаны. Заранее спасибо)
P.s. ответ не в тему=нарушение

Answers & Comments

nikebod313

Воспользуемся методом вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение вида $a\cos x \pm b\sin x = c$ , где $a, \ b, \ c$ — коэффициенты, $a \neq 0, \ b \neq 0.$

Разделим обе части этого уравнения на $\sqrt{a^{2} + b^{2}} = r$

Получим:

$\dfrac{a}{r} \cos x \pm \dfrac{b}{r}\sin x = \dfrac{c}{r}$

Коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль каждого из них не превосходит единицы, а сумма их квадратов равна 1.

Тогда можно обозначить их соответственно $\sin \varphi = \dfrac{a}{r}$ и $\cos \varphi = \dfrac{b}{r}$ (здесь $\varphi$ — вспомогательный угол) и уравнение примет вид:

$\sin \varphi \cos x \pm \cos \varphi \sin x = \dfrac{c}{r}$

Из формулы $\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta = \sin (\alpha \pm \beta )$ имеем:

$\sin (\varphi \pm x) = \dfrac{c}{r}$

Решим уравнения:

$1) \ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \dfrac{1}{2} \sin x = 1$

$\cos \dfrac{\pi}{6} \cos x - \sin \dfrac{\pi}{6}\sin x = 1$

Воспользуемся формулой косинуса суммы / разности:

$\cos \alpha \cos \beta \pm \sin \alpha \sin \beta = \cos (\alpha \mp \beta )$

Имеем:

$\cos \left(\dfrac{\pi}{6} + x \right) = 1$

$\dfrac{\pi}{6} + x = 2\pi n, \ n \in Z$

$x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, \ n \in Z$

Ответ: $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, \ n \in Z$

$2) \ \sqrt{3}\cos x + \sin x = 1 \ \ \ | : \sqrt{(\sqrt{3})^{2} + 1^{2}}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \dfrac{1}{2} \sin x = \dfrac{1}{2}$

$\sin \dfrac{\pi}{3}\cos x + \cos \dfrac{\pi}{3}\sin x = \dfrac{1}{2}$

Воспользуемся формулой синуса суммы / разности:

$\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta = \sin (\alpha \pm \beta )$

Имеем:

$\sin \left(\dfrac{\pi}{3} + x \right) = \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\pi}{3} + x = (-1)^{n}\arcsin \dfrac{1}{2} + \pi n, \ n \in Z$

$\dfrac{\pi}{3} + x = (-1)^{n}\dfrac{\pi}{6} + \pi n, \ n \in Z$

$x = -\dfrac{\pi}{3} + (-1)^{n}\dfrac{\pi}{6} + \pi n, \ n \in Z$

Ответ: $x = -\dfrac{\pi}{3} + (-1)^{n}\dfrac{\pi}{6} + \pi n, \ n \in Z$

Примечание. Выбор формулы сложения для синуса или косинуса не является принципиальным. Здесь для удобства выбраны формулы именно такие, чтобы под тригонометрической функцией стоял аргумент со знаком плюс. Можно непосредственно пользоваться формулой для решения такого рода уравнений.

Второй метод: универсальная тригонометрическая подстановка.

Для уравнений вида $a\cos x \pm b\sin x = c$ , где $a, \ b, \ c$ — коэффициенты, $a \neq 0, \ b \neq 0,$ воспользуемся выражениями тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента:

$\sin \alpha = \dfrac{2\text{tg} \ \dfrac{\alpha }{2} }{1 + \text{tg}^{2} \ \dfrac{\alpha }{2} }$

$\cos \alpha = \dfrac{1 - \text{tg}^{2} \ \dfrac{\alpha }{2} }{1 + \text{tg}^{2} \ \dfrac{\alpha }{2} }$

Перепишем уравнение:

$a \cdot \dfrac{1 - \text{tg}^{2} \ \dfrac{x}{2} }{1 + \text{tg}^{2} \ \dfrac{x}{2} } \pm b\cdot \dfrac{2\text{tg} \ \dfrac{x }{2} }{1 + \text{tg}^{2} \ \dfrac{x}{2} } = c$

Сделаем соответствующую замену: $\text{tg} \ \dfrac{x}{2} = t$

Получили уравнение:

$a \cdot \dfrac{1 - t^{2} }{1 + t^{2} } \pm b \cdot \dfrac{2t}{1 + t^{2} } = c$

После решения данного уравнения (обычно, их 2) следует вернутся к замене и получить решения:

$x = 2 \, \text{arctg} \, t + 2\pi n, \ n \in Z$

Для заданных уравнений более рациональным является первый метод решения, потому что их не сложно свести к уравнению $\sin (\varphi \pm x) = \dfrac{c}{r}$ , а процедура выискивания корней дробно-рационального уравнения для второго метода — это еще один относительно большой шаг для решения такого рода уравнений.

3 votes Thanks 3

nikebod313 Всё ли понятно?

Alena21215 Как понять, в 1 примере там корень из 3/2 cosx и получилось cos p/6cosx, а во втором примере корень из 3/2 cosx и получилось sin p/3cosx. Почему в одном случае мы выразили число в cos, а во втором уже в sin? Есть какое то правило? Как понять, когда и почему нужно выразить именно так, а не по-другому?

nikebod313 Как раз по этому поводу я написал в примечании. Для удобства я использую формулу сложения так, чтобы в результате аргумент был со знаком плюс (чтобы меньше действий было). Вы можете использовать любую из формул сложения - ответы будут одинаковые.

nikebod313 Если в первом примере я использую формулу с сложения для синуса, то имею:
sin(π/3)cos(x) - cos(π/3)sin(x) = 1
sin(π/3 - x) = 1
π/3 - x = π/2 + 2πn, n∈Z
-x = π/2 - π/3 + 2πn, n∈Z
x = -π/6 + 2πn, n∈Z
x = π/6 + 2πn, n∈Z
(Здесь можно оставлять -2πn = 2πт, так как n — целое число).

nikebod313 Как видите, из-за минуса перед иксом получилось больше действий, поэтому я для удобства использовал именно такие формулы, чтобы перед аргументом получался плюс.

nikebod313 -2πn = 2πn, так как n∈Z *

Alena21215 Спасибо огромное, всё поняла

nikebod313 Пожалуйста!

Answers & Comments

qurtus prime rtl viewer quartus prime

najdite summu pervyh vosmi chlenov vozrastayushej posledovatelnosti kvadratov pro

himiya 8 klass prishlite spisok osnovnye himicheskie gazy prosto gaz i nazvani

h ua1a2 uua3 uua4 obyasnite kak mozhno podrobnee chtoby ponyat

chto budet esli sluchajno ostavit palec pri peretyazhke nitkojobmotannym nitkoj

pomogite srochno umolyayu segodnya sdavat esli ne vidno to tam 5sm i 3 sm

postrojte eskiz grafika ufxpri uslovii limfx5 h stermitsya k beskonechnosti

help dayu 30 ballov reshite kak mozhno podrobnee zaranee spasibo

20 zhelatelno na listochke zaranee spasibo tem kto otvetil

pomogite reshit odin primer pravilno i ponyatno

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social