Найти скалярное произведение векторов AK̅̅̅̅ и BL̅̅̅̅, если AK и BL − медианы равнобедренного треугольника ABC, площадь которого равна S, а угол ∠ А = 120°.

Объяснение:

1) ΔАВС-равнобедренный , ∠А =120°, АС=АВ=х ,∠В=∠С=(180°-120°):2=30°  . Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними. По условию она S.

S=1/2*х*х*sin120 ⇒  х²= 2S: . х= .

По т. синусов     ,    , BC= .

2) Используя правила сложения векторов :

вектор АК=0,5(АВ+АС), вектор ВL=0,5(ВА+ВС).   Тогда

Векторы АК*ВL=0,25(АВ*ВА +АВ*ВС +АС*ВА +АС*ВС) .

Посчитаем каждое скалярное произведение

Вектора АВ*ВА=|АВ|*|ВА|*cos180=(4S/√3)*(-1)=

Вектора АВ*ВC=|АВ|*|ВC|*cos150=

Вектора АС*ВА=|АС|*|ВА|*cos60=

Вектора АC*ВС=|АC|*|ВС|*cos30= * * =S√3 .

Для определения угла между векторами, вектора переносились для совмещения начал векторов.Использовались свойства углов параллелограмма, смежных углов ( см. чертеж)

АК*ВL=0,25*S( ) = .