Хочу задать заново задачку UmbertoVargas, которую удалили, потому что никто не ответил. Полагаю эта задачка достойна быть увековеченной на сайте.
Шарик бросают из точки А вертикально вверх с начальной скоростью v0. Когда он достигнет предельной высоты подъема, из точки А по тому же направлению с той же начальной скоростью v0 бросают другой такой же шарик. Через некоторое время шарики встречаются и происходит абсолютно упругое соударение. На какой высоте соударяются шарики? На какую высоту после соударения поднимается первый шарик?
Шарик бросают из точки А вертикально вверх с начальной скоростью v0. Когда он достигнет предельной высоты подъема, из точки А по тому же направлению с той же начальной скоростью v0 бросают другой такой же шарик. Через некоторое время шарики встречаются и происходит абсолютно упругое соударение. На какой высоте соударяются шарики? На какую высоту после соударения поднимается первый шарик?
Answers & Comments
Verified answer
1) условимся пренебрегать сопротивлением воздуха во всех последующих действиях2) определим максимальную высоту подъема h' 1 шарика через закон сохранения энергии:
(m v0²)/2 = mgh',
h' = v0² / (2g).
3) напишем уравнение координаты для некоторой оси, направленной вертикально, для обоих шариков:
h = h' - (g t²)/2,
h = v0*t - (g t²)/2,
где h - высота, на которой происходит соударение. с учетом выражения для h', перепишем в виде
h = (v0²/(2g)) - (g t²)/2,
h = v0*t - (g t²)/2.
приравнивая данные выражения, находим, что время встречи равно
t = v0/(2g).
зная время встречи шариков, нетрудно узнать координату. подставляем выражение для t в любое уравнение y(t) шариков и получаем:
h = (3v0²) / (8g).
4) чтобы определить, на какую высоту после соударения поднимется первый шарик, определим сначала его скорость перед соударением v1. по закону сохранения энергии:
mgh' = mgh + (m v1²)/2
с учетом выражения для h и h', находим, что:
v1 = v0 / 2.
определим также скорость второго шарика перед столкновением из кинематического уравнения:
v2 = v0 - gt. время встречи шаров мы знаем. получаем
v2 = v0 / 2.
5) теперь, чтобы определить скорость первого шарика после столкновения, составим систему из закона сохранения импульса и энергии. обозначим скорость первого шара после соударения v1', скорость второго - v2'
mv2 - mv1 = mv1' - mv2'
(m v2²)/2 + (m v1²)/2 = (m v1'²)/2 + (m v2'²)/2
из ЗСИ нетрудно определить, что v1' = v2' (v2 + v2' = v1' + v1)
перепишем ЗСЭ в виде: (v0²/4) + (v0²/4) = 2 v1'². отсюда
v1' = v0 / 2.
6) вновь запишем закон сохранения энергии. рассматриваем ситуацию, когда 1 шарик на высоте h со скоростью v1' полетел после соударения вверх до некоторой максимальной искомой высоты H
mgh + (m v1'²)/2 = mgH
получаем, что H = v0²/(2g) - довольно интересный, симметричный результат, к слову...