Ответ:

Областью определения функции y = x/(ln(x²-1)) является промежуток х ∈ (-∞; -√2) ∪ (-√2; -1) ∪ (1; √2) ∪ (√2; +∞).

Объяснение:

Судя по всему, "двойка" после "икса" в аргументе логарифма - не множитель, а степень. Тогда мы имеем следующую функцию:

[tex]\displaystyle y=\frac{x}{\ln(x^2-1)}[/tex]

Как мы знаем, знаменатель дроби должен быть не равен нулю. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. Тогда в нашей ф-ции должны одновременно выполняться следующие два условия:

[tex]\boxed{\displaystyle \left \{ {{\ln(x^2-1)\neq0} \atop {x^2-1 > 0 \ \ \ \ }} \right.}[/tex]

1. Решим верхнее неравенство.

Ноль запишем как ln 1 (натуральный логарифм с аргументом 1 равен нулю), и далее приравняем аргументы двух логарифмов, т.к. и справа, и слева мы будем иметь натуральные логарифмы.

[tex]\ln(x^2-1)\neq0 \\\\ \ln(x^2-1)\neq \ln 1\\\\ x^2-1 \neq1\\\\ x^2\neq1+1 \\\\ \boxed{ x\neq \pm\sqrt{2} }[/tex]

Теперь наша система имеет следующий вид:

[tex]\displaystyle \left \{ {{x\neq \pm \sqrt{2} \ \ } \atop {x^2-1 > 0 }} \right.[/tex]

2. Решаем нижнее неравенство, учитывая решение первого.

Решаем нижнее неравенство методом интервалов, на промежутке сразу же выкалываем точки √2 и (-√2).

[tex]x^2-1 > 0 \\\\ (x-1)(x+1) > 0[/tex]

[tex]\setlength{\unitlength}{30mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.3mm} \put(0.5,-0.002){\circle{0.05}} \put(2.1,0){\circle{0.05}} \put(0.2,0,09) { + + + + + }\put(1.4,0,09) { - - - - - } \put(2.2,0,09) { + + + + + } \put(1.15,0){\circle{0.05}} \put(2.7,0){\circle{0.05}} \put(0,0){\line (1,0){3}} \end{picture} \\ \/ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\!\sqrt{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \!\sqrt{2}[/tex]

Нас интересуют промежутки с "плюсами". Записываем конечный ответ:

ОДЗ: х ∈ (-∞; -√2) ∪ (-√2; -1) ∪ (1; √2) ∪ (√2; +∞).