Исследовать функцию на экстремумы с помощью производной.
Answers & Comments
neksan2Исследовать функцию y = x² / (x -2) на экстремумы с помощью производной --------------------------------------------------- 1. ООФ (Область Определения Функции ) : x ∈(-∞; 2) ∪(2 ; ∞) * * * x ≠2 * * * 2. x =2 является точкой разрыва второго рода Lim x² / (x -2) = -∞ ; Lim x² / (x -2) = ∞ . x→2 - 0.......................x→2 + 0 3. График функции проходит через начало координат ( x =0 ; y =0). 4. Экстре́мум _ максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве . Если в точке x₀ есть экстремум, то либо значения y ' =0 либо не существует (вместе критические точки) и меняет знак при переходе через x₀. _если при переходе через точку производная меняет знак с «плюса» на «минус», то в данной точке функция достигает максимума ; – если при переходе через точку производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то в данной точке функция достигает минимума. ------- Вычисляем производную данной функции (по формуле производной дроби) y ' = ( x² / (x -2) ) ' = ( (x²) ' *(x -2) - x²*(x -2)' ) / (x -2)² =(2x(x-2) -x²*1 ) /(x-2)²= =x(x - 4)/(x - 2)² . y ' = x(x - 4)/(x - 2)² . Найдем критические точки функции : y ' =0 или y ' не существует. а) y ' =0 x(x -4)/(x - 2)² =0 ⇒ x =0 или x = 4. b) Производная не существует в точке x =2 , но эта точка не принадлежит ООФ . --- Определяем промежутки монотонности функции (зависит от знака производной функции) Если : y ' < 0 ⇒ функция убывает (условно обозначаем знаком " ↓" ; y ' >0 ⇒ функция возрастает (условно обозначаем знаком " ↑" . методом интервалов: y ' "+" " -" "+" --------------------------------( 0) ---------- 2°------------ ( 4 ) ---------------------------- y (возрастает) ↑ max (убывает)↓ min (возрастает) ↑ x =0 и x =4 являются точками экстремумов x =0 точка максимума → максимальное значение (локальное) : max (y) =y(0) = 0²/(0-2) = 0 ; x =4 точка минимума → минимальное значение(локальное): min(y) =y(4) = 4²/(4-2) =16/2 =8.
ответ : Экстремумы : y=0 _ максимальное значение (локальное) в точке x =0 ; y=8 _ минимальное значение (локальное) в точке x =4. короче экстремумы y(0) = 0 →максимальное значение ; y(4) = 8 →минимальное значение. ( Дополнительно и приведен график функции в прикрепленном файле) Удачи Вам !
Answers & Comments
---------------------------------------------------
1.
ООФ (Область Определения Функции ) : x ∈(-∞; 2) ∪(2 ; ∞) * * * x ≠2 * * *
2.
x =2 является точкой разрыва второго рода
Lim x² / (x -2) = -∞ ; Lim x² / (x -2) = ∞ .
x→2 - 0.......................x→2 + 0
3.
График функции проходит через начало координат ( x =0 ; y =0).
4.
Экстре́мум _ максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве .
Если в точке x₀ есть экстремум, то либо значения y ' =0 либо не существует (вместе критические точки) и меняет знак при переходе через x₀.
_если при переходе через точку производная меняет знак с «плюса» на «минус», то в данной точке функция достигает максимума ;
– если при переходе через точку производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то в данной точке функция достигает минимума.
-------
Вычисляем производную данной функции (по формуле производной дроби)
y ' = ( x² / (x -2) ) ' = ( (x²) ' *(x -2) - x²*(x -2)' ) / (x -2)² =(2x(x-2) -x²*1 ) /(x-2)²=
=x(x - 4)/(x - 2)² .
y ' = x(x - 4)/(x - 2)² .
Найдем критические точки функции : y ' =0 или y ' не существует.
а) y ' =0
x(x -4)/(x - 2)² =0 ⇒ x =0 или x = 4.
b) Производная не существует в точке x =2 , но эта точка не принадлежит ООФ .
---
Определяем промежутки монотонности функции (зависит от знака производной функции)
Если :
y ' < 0 ⇒ функция убывает (условно обозначаем знаком " ↓" ;
y ' >0 ⇒ функция возрастает (условно обозначаем знаком " ↑" .
методом интервалов:
y '
"+" " -" "+"
--------------------------------( 0) ---------- 2°------------ ( 4 ) ----------------------------
y (возрастает) ↑ max (убывает)↓ min (возрастает) ↑
x =0 и x =4 являются точками экстремумов
x =0 точка максимума → максимальное значение (локальное) :
max (y) =y(0) = 0²/(0-2) = 0 ;
x =4 точка минимума → минимальное значение(локальное):
min(y) =y(4) = 4²/(4-2) =16/2 =8.
ответ : Экстремумы :
y=0 _ максимальное значение (локальное) в точке x =0 ;
y=8 _ минимальное значение (локальное) в точке x =4.
короче экстремумы
y(0) = 0 →максимальное значение ;
y(4) = 8 →минимальное значение.
( Дополнительно и приведен график функции в прикрепленном файле)
Удачи Вам !
Verified answer
Производная (2х(х-2)-х^2)/(х-2)^2=(х^2-4х)/(х-2)^2=(х(х-4))/(х-2)^2(х(х-4))/(х-2)^2=0
х=0 и х=4; х≠2
Хмах=4; Умах=8
Хмин=0; Умах=0