Из набора цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) выбирают шесть различных значений A,B,C,D,E,F. Предположим, что прямые Ax+By=С и Dx+Ey=F пересекаются в точке с рациональными координатами (p,q). Какое максимальное простое число будет делителем знаменателя чисел p и q ?
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Ответ:
67
Объяснение:
Имеем две прямых:
{ Ax + By = C
{ Dx + Ey = F
Выразим y через x в обоих прямых:
{ y = (C - Ax)/B
{ y = (F - Dx)/E
В точке пересечения прямых правые части равны друг другу:
(C - Ax)/B = (F - Dx)/E
E(C - Ax) = B(F - Dx)
CE - AEx = BF - BDx
BDx - AEx = BF - CE
x = (BF - CE)/(BD - AE)
y = (C - Ax)/B = (C - (ABF - ACE)/(BD - AE) ) / B =
= (CBD - CAE - ABF + ACE)/(BBD - BAE) =
= (CBD - ABF)/(B^2*D - BAE) = (CD - AF)/(BD - AE)
Итак, получили координаты:
p = x = (BF - CE)/(BD - AE)
q = y = (CD - AF)/(BD - AE)
Знаменатели у них одинаковые.
Максимальный знаменатель равен:
BD - AE = 9*8 - 1*5 = 72 - 5 = 67.
И это максимальное простое число, которое можно получить разностью.