Дан треугольник ΔАВС: ∠С = 80°; АС = b = 15 км; ВС = а = 8 км.
Требуется найти разность (a + b) - c.
-----------------------
1 способ.
По теореме косинусов:
Для плоского треугольника, у которого стороны a, b, c и угол α, который противолежит стороне a, справедливо соотношение:
a² = b² + c² – 2bc cosα.
Применительно к треугольнику на рисунке:
c² = a² + b² - 2ab cos80°
Тогда:
c² = 8² + 15² - 2·8·15·0,174 = 247,24
с = √247,24 ≈ 15,7 (км)
Найдем разность между двумя расстояниями:
a + b - c = 15 + 8 - 15,7 = 7,3 (км)
-------------------------
2 способ.
Проведем высоту h на сторону АС.
Получили две проекции сторон АВ и СВ на сторону АС:
c(b) = АН и a(b) = СН
Стороны и их проекции в произвольном треугольнике связаны соотношением:
a² = b² + c² - 2b·c(b)
с² = a² - b² + 2b·c(b)
Проекцию с(b) найдем из разности:
с(b) = b - a(b) = b - a·cos80° = 15 - 8·0,174 ≈ 13,6 (км)
Подставим все значения в формулу:
с² = a² - b² + 2b·c(b) = 64 - 225 + 2 · 15 · 13,6 = 247
с = √247 ≈ 15,7 (км)
Ответ: путь из А в В сократился примерно на 7,3 км
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Verified answer
Дан треугольник ΔАВС: ∠С = 80°; АС = b = 15 км; ВС = а = 8 км.
Требуется найти разность (a + b) - c.
-----------------------
1 способ.
По теореме косинусов:
Для плоского треугольника, у которого стороны a, b, c и угол α, который противолежит стороне a, справедливо соотношение:
a² = b² + c² – 2bc cosα.
Применительно к треугольнику на рисунке:
c² = a² + b² - 2ab cos80°
Тогда:
c² = 8² + 15² - 2·8·15·0,174 = 247,24
с = √247,24 ≈ 15,7 (км)
Найдем разность между двумя расстояниями:
a + b - c = 15 + 8 - 15,7 = 7,3 (км)
-------------------------
2 способ.
Проведем высоту h на сторону АС.
Получили две проекции сторон АВ и СВ на сторону АС:
c(b) = АН и a(b) = СН
Стороны и их проекции в произвольном треугольнике связаны соотношением:
a² = b² + c² - 2b·c(b)
Тогда:
с² = a² - b² + 2b·c(b)
Проекцию с(b) найдем из разности:
с(b) = b - a(b) = b - a·cos80° = 15 - 8·0,174 ≈ 13,6 (км)
Подставим все значения в формулу:
с² = a² - b² + 2b·c(b) = 64 - 225 + 2 · 15 · 13,6 = 247
с = √247 ≈ 15,7 (км)
Найдем разность между двумя расстояниями:
a + b - c = 15 + 8 - 15,7 = 7,3 (км)
Ответ: путь из А в В сократился примерно на 7,3 км