Достаточность:

Пусть x^2=y^2, тогда

x^2-y^2=0

(x-y)(x+y)=0(применили формулу разности квадратов)

x=y или x=-y

Необходимость:

Пусть x=y или x=-y

Тогда x-y=0 или x+y=0

Откуда верно следующее, так как хотя бы один множитель равен нулю:

(x-y)(x+y)=0

x^2-y^2=0(применили формулу разности квадратов)

x^2=y^2

ч.т.д.