Ответ:

Площадь диагонального сечения:

[tex]\boldsymbol{S_{BB_1D_1D}=\dfrac{2l^2\cdot tg\alpha}{2tg^2\alpha +1}}[/tex]

Площадь боковой поверхности:

[tex]\boldsymbol{S=\dfrac{4\sqrt{2}l^2\cdot tg\alpha}{2tg^2\alpha +1}}[/tex]

Площадь основания:

[tex]\boldsymbol{S_{ABCD}=\dfrac{l^2}{2tg^2\alpha+1}}[/tex]

Объяснение:

Дано:

ABCDA₁B₁C₁D₁ - правильная четырехугольная призма,

DC₁ = l,

∠(DB₁; (ABC)) = α

Найти:

[tex]S_{BB_1D_1D},[/tex]

S - площадь боковой поверхности,

[tex]S_{ABCD}.[/tex]

Решение:

BD - проекция B₁D на плоскость основания, тогда

∠B₁DD₁ = α - угол наклона диагонали призмы к плоскости основания.

Призма правильная, значит в основании лежит квадрат.

Обозначим сторону основания АВ = а, боковое ребро CC₁ = b.

BD = a√2 как диагональ квадрата.

ΔBB₁D:

ВВ₁ = BD · tgα

b = a√2 · tgα

ΔCC₁D:  по теореме Пифагора

DC₁² = CC₁² + CD²

[tex]l^2=b^2+a^2[/tex]

[tex]l^2=(a\sqrt{2}\cdot tg\: \alpha)^2+a^2[/tex]

[tex]l^2=2a^2tg^2\alpha +a^2[/tex]

[tex]a^2=\dfrac{l^2}{2tg^2\alpha +1}[/tex]

[tex]\boldsymbol{a=\dfrac{l}{\sqrt{2tg^2\alpha+1}}}[/tex]

[tex]b=a\sqrt{2}\cdot tg\alpha[/tex]

[tex]\boldsymbol{b=\dfrac{l\sqrt{2}tg\alpha}{\sqrt{2tg^2\alpha +1}}}[/tex]

Площадь диагонального сечения:

[tex]S_{BB_1D_1D}=BD\cdot BB_1=a\sqrt{2}\cdot b[/tex]

[tex]S_{BB_1D_1D}=\dfrac{l\sqrt{2}}{\sqrt{2tg^2\alpha+1}}\cdot \dfrac{l\sqrt{2}tg\alpha}{\sqrt{2tg^2\alpha +1}}[/tex]

[tex]\boldsymbol{S_{BB_1D_1D}=\dfrac{2l^2\cdot tg\alpha}{2tg^2\alpha +1}}[/tex]

Площадь боковой поверхности:

[tex]S=4a\cdot b=\dfrac{4l}{\sqrt{2tg^2\alpha+1}}\cdot \dfrac{l\sqrt{2}tg\alpha}{\sqrt{2tg^2\alpha +1}}[/tex]

[tex]\boldsymbol{S=\dfrac{4\sqrt{2}l^2\cdot tg\alpha}{2tg^2\alpha +1}}[/tex]

Площадь основания:

[tex]S_{ABCD}=a^2=\left({\dfrac{l}{\sqrt{2tg^2\alpha+1}}\right)^2[/tex]

[tex]\boldsymbol{S_{ABCD}=\dfrac{l^2}{2tg^2\alpha+1}}[/tex]