Ответ:

m = 38, n = -37.

Разность большего и меньшего чисел равна 75.

Объяснение:

Найти такие целые числа m и n, чтобы выполнялось равенство

5n = 81 - 7m,

а сумма чисел n и m была положительной и наименьшей из возможных.

В ответе записать разность большего и меньшего из этих чисел.

1) Выразим переменную n из равенства 5n = 81 - 7m.

[tex]\displaystyle n = \frac{81-7m}{5}[/tex]

Мы видим, что разность (81 - 7m) делится на 5. Значит она оканчивается на 0 или 5.

2) Чтобы разность оканчивалась на 0 или 5, нужно от 81 отнять такое число 7m, которое оканчивается на 1 или 6, и это число должно быть кратно 7.

Тогда число m оканчивается на 3 или 8.

Действительно,

если m = 3, то

 [tex]\displaystyle n = \frac{81-7\cdot 3}{5}=\frac{81-21}{5}=\frac{60}{5}=12[/tex]

если m = 8, то

[tex]\displaystyle n = \frac{81-7\cdot 8}{5}=\frac{81-56}{5}=\frac{25}{5}=5[/tex]

3) Если продолжим вычислять дальше, то увидим закономерность:

c увеличением числа m на 5 число n уменьшается на 7.

Число m принимает значения  m = 3 + 5k,

а число n принимает значения n = 12 - 7k,

где k натуральное число, k = 1, 2, 3 ...

4) По условию сумма чисел n + m должна быть положительной и наименьшей.

n + m > 0

3 + 5k + 12 - 7k >0;

15 - 2k > 0;

2k < 15;

k < 7,5.

k - целое число.

Если k = 7, то m = 3 + 5 * 7 = 3 + 35 = 38,

n = 12 - 7 *7 = 12 - 49 = -37.

Сумма целых чисел m и n

m + n = 38 - 37 = 1 наименьшая положительная.

Проверка.

При m = 38, n = -37

5 * (-37) = 81 - 7 * 38;

-185 = 81 - 266;

-185 = -185. Верно.

5) Разность большего и меньшего чисел:

38 - (-37) = 38 + 37 = 75.