Найдем среди чисел от 1 до m наибольшую степень двойки, то есть такую, что : , где - натуральное число.
Умножим обе части равенства на :
Поскольку число имеет максимальную степень двойки для чисел от 1 по m, то все степени двоек входящие в разложение на простые множители чисел от 1 по m, если таковые существуют, сократятся c числителем
- натуральное нечетное число.
Приведем все дроби к наименьшему общему знаменателю, но поскольку, наименьший общий знаменатель нечетных чисел число нечетное, а все числители четные, то левая часть равенства будет выглядить так : , где - четное число, - нечетное число.
Целое число: является нечетным при .
Тогда : произведение двух нечетных числе число нечетное, но число - четное .
То есть мы пришли к противоречию, а значит число - нецелое.
Если же , то - целое число.
Примечание: данное доказательство работает не только для данного ряда, но и для любого упорядоченного ряда вида :
, если в этом ряду существует число вида ,где - простое, не делится на , причем в разложении на простые множители каждого из чисел от до содержится не более чем - я cтепень числа , за исключением самого числа . То есть умножаем обе части на и также рассуждаем про делимость на .
Answers & Comments
Пусть сумма ряда :
Предположим, что число - целое число и
Найдем среди чисел от 1 до m наибольшую степень двойки, то есть такую, что : , где - натуральное число.
Умножим обе части равенства на :
Поскольку число имеет максимальную степень двойки для чисел от 1 по m, то все степени двоек входящие в разложение на простые множители чисел от 1 по m, если таковые существуют, сократятся c числителем
- натуральное нечетное число.
Приведем все дроби к наименьшему общему знаменателю, но поскольку, наименьший общий знаменатель нечетных чисел число нечетное, а все числители четные, то левая часть равенства будет выглядить так : , где - четное число, - нечетное число.
Целое число: является нечетным при .
Тогда : произведение двух нечетных числе число нечетное, но число - четное .
То есть мы пришли к противоречию, а значит число - нецелое.
Если же , то - целое число.
Примечание: данное доказательство работает не только для данного ряда, но и для любого упорядоченного ряда вида :
, если в этом ряду существует число вида ,где - простое, не делится на , причем в разложении на простые множители каждого из чисел от до содержится не более чем - я cтепень числа , за исключением самого числа . То есть умножаем обе части на и также рассуждаем про делимость на .