Verified answer

Даны координаты вершин треугольника ABC:  A(2,5); B(-3,1); C(0,4).

Найти:

а) уравнение стороны AB.

Находим вектор АВ = (-3-2; (1-5) = (-5; -4).

Уравнение АВ: (х - 2)/(-5) = (у - 5)/(-4) каноническое.

-4х + 8 = -5у + 25,

4х - 5у + 17 = 0 это общее уравнение АВ.

б) уравнение высоты CH. Это перпендикуляр к стороне АВ.

У перпендикуляра коэффициенты общего уравнения А и В меняются на -В и А (из условия, что их скалярное произведение равно нулю).

Уравнение СН: 5х + 4у + С = 0.

Для определения слагаемого С подставим координаты точки С.

5*0 + 4*4 + С = 0, получаем С = -16.

Уравнение СН: 5х + 4у - 16 = 0.

в) уравнение медианы AM.

Определяем координаты точки М как середины стороны ВС.

М = (B(-3; 1) + C(0; 4))/2 = (-1,5; 2,5).

Вектор АМ = (-1,5-2); 2,5-5) = (-3,5; -2,5).

Уравнение АМ: (х - 2)/(-3,5) = (у - 5)/(-2,5).

Можно привести к целым коэффициентам:

Уравнение АМ: (х - 2)/7 = (у - 5)/5 или в общем виде

                           5х - 7у + 25 = 0.

г) ) длина высоты СН - это расстояние от точки C(0; 4) до прямой  

AB:4х - 5у + 17 = 0.  

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:

d =  |A·Mx + B·My + C|

      √(A² + B²)

Подставим в формулу данные:

d =   |4·0 + (-5)·4 + 17|

        √(4² + (-5)²)

=   |0 - 20 + 17|

     √(16 + 25)      

=    3  

√41

=   3√41 /41   ≈ 0,4685.

д) тангенс угла А определим по разности угловых коэффициентов сторон АВ и АС.

tg AB = Δy / Δx = -4/(-5) = 4/5.

Находим вектор АC = (0-2; (4-5) = (-2; -1).

tg AC = Δy / Δx = -1/(-2) = 1/2.

Отсюда находит tg A по формуле:

tg A = (tg AB – tg AC)/(1 + tg AB*tg AC) = ((4/5) – (1/2))/(1 + (4/5)*(1/2)) = (3/10)/(14/10) = 3/14.

tg A = 3/14.

е) уравнение прямой, проходящей через точку C, параллельно стороне AB, имеет коэффициенты при переменных, равные прямой АВ.

Получаем: СС1 = 4х - 5у + С = 0.

Для определения слагаемого С подставим координаты точки С.

4*0 – 5*4 + С = 0, отсюда С = 20.

Уравнение: 4х - 5у + 20 = 0.