математика задача 9
Сколькими нулями оканчивается сумма 2022!+2023!+2024!+…+9999! ?
Сколькими нулями оканчивается сумма 2022!+2023!+2024!+…+9999! ?
More Questions From This User See All
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Вынесем общий множитель за скобку:
. Еще вынесем: 
. Теперь видно, что слагаемые дальше 
делятся на 
. Сумма первых трех оканчивается на 
, а потому взаимно проста с десятью. Следовательно, сумма оканчивается на то количество нулей, на которое оканчивается 
. Двоек в 
: ![\nu_{2}(2022!) = [2022/2]+[2022/2^2]+\ldots = 1011+505+252+126+63+31+15+7+3+1=2014](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cnu_%7B2%7D%282022%21%29%20%3D%20%5B2022%2F2%5D%2B%5B2022%2F2%5E2%5D%2B%5Cldots%20%3D%201011%2B505%2B252%2B126%2B63%2B31%2B15%2B7%2B3%2B1%3D2014 "\nu_{2}(2022!) = [2022/2]+[2022/2^2]+\ldots = 1011+505+252+126+63+31+15+7+3+1=2014")
, а пятерок: ![\nu_{5}(2022!) = [2022/5]+[2022/25]+\ldots = 404+80+16+3=503](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cnu_%7B5%7D%282022%21%29%20%3D%20%5B2022%2F5%5D%2B%5B2022%2F25%5D%2B%5Cldots%20%3D%20404%2B80%2B16%2B3%3D503 "\nu_{5}(2022!) = [2022/5]+[2022/25]+\ldots = 404+80+16+3=503")
. Значит сумма есть 
, где 
взаимно просто с 
. Тогда сумма оканчивается на 
нуля.