Kазак Всего существуют 9 способов раскраски куба, дающих разное число некрашенных кубиков
С₁
1 крашенная грань, 
число крашенных кубиков К₁ = N²
Число некрашенных кубиков H₁ = N³-N²
Попробуем
H₁ = N³-N² = 45
Кубическое уравнение, аналитически решать нет желания, просто пробуем целые N
N=2 
8-4 = 4 мало
N=3
27-9 = 18 мало
N=4
64-16 = 48 много
Решений нет
С₂₁ 
2 смежные крашенные грани
число крашенных кубиков К₂₁ = N²+N(N-1) = 2N²-N
Число некрашенных кубиков H₂₁ = N³-2N²+N
Попробуем
H₂₁ = N³-2N²+N = 45
пробуем целые N
N=2 
8-8+2 = 2 мало
N=3
27-18+3 = 12 мало
N=4
64-32+4 = 36 мало
N=5
125-50+5 = 80 много
Решений нет
С₂₂ 
2 противоположные крашенные грани
число крашенных кубиков К₂₂ = 2N²
Число некрашенных кубиков H₂₂ = N³-2N²
Попробуем
H₂₂ = N³-2N² = 45
пробуем целые N
N=2 
8-8 = 0 мало
N=3
27-18 = 9 мало
N=4
64-32 = 32 мало
N=5
125-50 = 75 много
Решений нет
С₃₁ 
3 смежные крашенные грани
число крашенных кубиков К₃₁ = N²+N(N-1)+(N-1)(N-1) = 3N²-1
Число некрашенных кубиков H₃₁ = N³-3N²+1
Попробуем
H₃₁ = N³-3N²+1 = 45
пробуем целые N
N=3
27-27+1 = 1 мало
N=4
64-48+1 = 17 мало
N=5
125-75+1 = 51 много
Решений нет
С₃₂ 
3 вразброс крашенные грани
число крашенных кубиков К₃₂ = 2N²+N(N-2) = 3N²-2N
Число некрашенных кубиков H₃₂ = N³-3N²+2N
Попробуем
H₃₂ = N³-3N²+2N = 45
пробуем целые N
N=3
27-27+6 = 6 мало
N=4
64-48+8 = 24 мало
N=5
125-75+10 = 60 много
Решений нет
С₄₁ 
4 крашенные грани, 2 пустышки смежные
число крашенных кубиков К₄₁ = 2N²+N(N-2)+(N-1)(N-2) = 4N²-5N+2
Число некрашенных кубиков H₄₁ = N³-4N²+5N-2
Попробуем
H₄₁ = N³-4N²+5N-2 = 45
пробуем целые N
N=3
27-36+15-2 = 4 мало
N=4
64-64+20-2 = 18 мало
N=5
125-100+25-2 = 48 много
Решений нет
С₄₂ 
4 крашенные грани, 2 пустышки противоположные 
число крашенных кубиков К₄₂ = 4N(N-1) = 4N²-4N
Число некрашенных кубиков H₄₂ = N³-4N²+4N
Попробуем
H₄₂ = N³-4N²+4N = 45
пробуем целые N
N=3
27-36+12 = 3 мало
N=4
64-64+16 = 16 мало
N=5
125-100+20 = 45 Попал!!!
N=6 
216-144+24=96 много
С₅ 
5 крашенных граней
число крашенных кубиков К₅ = N²+4(N-1)(N-1) = 5N²-8N+4
Число некрашенных кубиков H₅ = N³-5N²+8N-4
Попробуем
H₅ = N³-5N²+8N-4 = 45
пробуем целые N
N=3
27-45+24-4 = 2 мало
N=4
64-80+32-4 = 12 мало
N=5
125-125+40-4 = 36 мало
N=6 
216-180+48-4=80 много
С₆ 
6 крашенных граней
число крашенных кубиков К₆ = 2N²+4(N-1)(N-2) = 6N²-12N+8
Число некрашенных кубиков H₆ = N³-6N²+12N-8
Попробуем
H₆ = N³-6N²+12N-8 = 45
пробуем целые N
N=4
64-96+48-8 = 8 мало
N=5
125-150+60-8 = 27 мало
N=6 
216-216+72-8=64 много
------------------------------
Всё!
Найдено единственное решение, куб состоит из 5³=125 кубиков, раскраска такова, что две неокрашенные грани противоположны.