Відповідь:

Для того чтобы все белые клетки стали черными, а черные клетки - белыми, необходимо выполнить следующее условие: количество черных клеток и количество белых клеток должно быть четным числом.

Обоснуем это правило:

При перекрашивании двух соседних клеток, их цвет меняется на противоположный. Таким образом, каждая операция перекрашивания меняет четность количества черных и белых клеток.

Поскольку доска раскрашена в шахматном порядке, количество черных и белых клеток изначально различается. Если количество черных и белых клеток различается на нечетное число, то невозможно сделать обе группы клеток четными одновременно. Таким образом, не будет возможности перекрасить все белые клетки в черный цвет, а черные в белый.

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если и m и n - четные числа:

  В этом случае на доске m * n будет равное количество черных и белых клеток. Изначально количество черных и белых клеток одинаково и четно, а поскольку мы можем менять цвета клеток, это не изменится. Поэтому, в этом случае, мы можем добиться желаемого результата.

2. Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное:

  В этом случае, количество черных и белых клеток на доске не будет равным, поскольку допустим только один вариант непарного числа: (нечетное число + четное число = нечетное число). Следовательно, в этом случае, мы не сможем добиться желаемого результата.

Итак, мы можем добиться того, что все белые клетки станут черными, а черные - белыми, только если оба m и n являются четными числами.