Если среди этих чисел могут быть одинаковые, то можно: возьмем41 единицу и 2, 2, 3. Тогда сумма равна 1+...+1+2+2+3=48, а произведение1*...*1*2*2*3=12, при этом 48=4*12.
Если числа различные, тотакое невозможно. Вначале докажем, что сумма любых чисел больших илиравных 2 не превосходит их произведения. Пусть S(k) - сумма k чисел,каждое из которых не меньше 2, а P(k) - их произведение. Заметим, чтоP(k)≥2. Сделаем индукцию по количеству слагаемых. S(1)=P(1).Предположим, что выполнено S(k)≤P(k). Тогда, если b - это k+1-ое число,то S(k+1)=S(k)+b≤P(k)+b≤P(k)*b=P(k+1). Здесь неравенство P(k)+b≤P(k)*bверно, т.к. его можно переписать в виде (P(k)-1)(b-1)≥1, что выполняетсяпри P(k)≥2 и b≥2. Теперь, если среди наших 44 чисел имеется только однаединица (а это так, если числа различны), то получаем1+S(43)≤1+P(43)<4*1*P(43)), т.е. сумма всех чисел строго меньше чемчетырехкратное их произведение. Значит равенства быть не может.
Answers & Comments
Verified answer
Если среди этих чисел могут быть одинаковые, то можно: возьмем41 единицу и 2, 2, 3. Тогда сумма равна 1+...+1+2+2+3=48, а произведение1*...*1*2*2*3=12, при этом 48=4*12.Если числа различные, тотакое невозможно. Вначале докажем, что сумма любых чисел больших илиравных 2 не превосходит их произведения. Пусть S(k) - сумма k чисел,каждое из которых не меньше 2, а P(k) - их произведение. Заметим, чтоP(k)≥2. Сделаем индукцию по количеству слагаемых. S(1)=P(1).Предположим, что выполнено S(k)≤P(k). Тогда, если b - это k+1-ое число,то S(k+1)=S(k)+b≤P(k)+b≤P(k)*b=P(k+1). Здесь неравенство P(k)+b≤P(k)*bверно, т.к. его можно переписать в виде (P(k)-1)(b-1)≥1, что выполняетсяпри P(k)≥2 и b≥2. Теперь, если среди наших 44 чисел имеется только однаединица (а это так, если числа различны), то получаем1+S(43)≤1+P(43)<4*1*P(43)), т.е. сумма всех чисел строго меньше чемчетырехкратное их произведение. Значит равенства быть не может.