Тогда построим граф: его вершины - кони, а ребра соединяют лишь коней, бьющих друг друга.
Тогда из каждой вершины исходит ровно 2 ребра, т.е. получен 2-регулярный граф на 11 вершинах.
2-регулярные графы состоят из разрозненных циклов.
Число ребер в цикле на n вершинах равно n. А тогда общее кол-во ребер в разрозненных циклах равно сумме числа вершин в каждом из циклов - а значит число ребер в полученном графе равно 11.
Но тогда по крайней мере один цикл имеет нечетную длину (иначе сумма чисел ребер была бы четной).
Введем на доске своеобразную систему координат: середина нижней левой клетки имеет координаты (0;0), а единичный отрезок - длина стороны клетки.
Выберем произвольного коня с координатами (a;b), принадлежащего указанному циклу нечетной длины. Тогда координаты коня, которого бьет данный, имеют вид (a+x1;b+x2), где x=(x1;x2) - один из векторов (-2;1),(-1;2),(1;2),(2;1),(2;-1),(1;-2),(-1;-2),(-2;-1) [по сути, это интерпретация хода коня]
Пусть длина цикла [число ребер цикла] равна n - нечетное число.
Выбираем любое из ребер, инцидентных (a;b), и в этом направлении обходим цикл. В какой-то момент, после n переходов, попадем в исходную вершину (a;b). Но тогда сумма векторов, задающих сдвиги в соседнюю вершину цикла, равна 0.
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
Нет
Пошаговое объяснение:
Пусть такая расстановка построена.
Тогда построим граф: его вершины - кони, а ребра соединяют лишь коней, бьющих друг друга.
Тогда из каждой вершины исходит ровно 2 ребра, т.е. получен 2-регулярный граф на 11 вершинах.
2-регулярные графы состоят из разрозненных циклов.
Число ребер в цикле на n вершинах равно n. А тогда общее кол-во ребер в разрозненных циклах равно сумме числа вершин в каждом из циклов - а значит число ребер в полученном графе равно 11.
Но тогда по крайней мере один цикл имеет нечетную длину (иначе сумма чисел ребер была бы четной).
Введем на доске своеобразную систему координат: середина нижней левой клетки имеет координаты (0;0), а единичный отрезок - длина стороны клетки.
Выберем произвольного коня с координатами (a;b), принадлежащего указанному циклу нечетной длины. Тогда координаты коня, которого бьет данный, имеют вид (a+x1;b+x2), где x=(x1;x2) - один из векторов (-2;1),(-1;2),(1;2),(2;1),(2;-1),(1;-2),(-1;-2),(-2;-1) [по сути, это интерпретация хода коня]
Пусть длина цикла [число ребер цикла] равна n - нечетное число.
Выбираем любое из ребер, инцидентных (a;b), и в этом направлении обходим цикл. В какой-то момент, после n переходов, попадем в исходную вершину (a;b). Но тогда сумма векторов, задающих сдвиги в соседнюю вершину цикла, равна 0.
А тогда
Число сдвигов равно n, а тогда
Получаем систему:
Сложив все уравнения, получим
Т.е. n кратно 2 - но n нечетно - противоречие.
А значит такой расстановки не существует