Verified answer

Допустим, что натуральное число n не кратно 3. Тогда n можно представить в виде n = 3k + 1 или n = 3k - 1 для некоторого натурального числа k.

В первом случае n^2 + 2 = (3k + 1)^2 + 2 = 9k^2 + 6k + 1 + 2 = 9k^2 + 6k + 3 = 3(3k^2 + 2k + 1), которое кратно 3.

Во втором случае n^2 + 2 = (3k - 1)^2 + 2 = 9k^2 - 6k + 1 + 2 = 9k^2 - 6k + 3 = 3(3k^2 - 2k + 1), которое также кратно 3.

Таким образом, значение выражения n^2 + 2 кратно 3 для любого натурального числа n, которое не кратно 3.

[tex](n^2+2)\ \textrm{mod}\ 3 = (n^2-1) \mod 3[/tex]

3 - простое число, а потому согласно малой теореме Ферма для [tex]n[/tex] не кратного 3 число [tex]n^2-1[/tex] делится на три, значит и [tex]n^2+2[/tex] делится на 3