Ответ:

(n-2)(n-1)n(n+1) +1 = ( n² -n - 1 )²

Объяснение:

доведіть що при всіх цілих значеннях n виразу (n-2)(n-1)n(n+1) +1 є квадратом цього числа​

[tex](n-2)(n-1)n(n+1) + 1[/tex]

Сгруппируем множители :

[tex]\Big ((n-2)(n+1) \Big ) \cdot \Big( n (n-1)\Big ) + 1 = \\\\ = (n^2 -n - 2)(n^2-n)+ 1[/tex]

Сделаем замену :

[tex]u = n^ 2 - n[/tex]

[tex]\implies ( u -2) \cdot u + 1 = u ^2 -2u +1 = (u-1)^2[/tex]

Подставим   u = n² -n

[tex](u-1)^2 = (n^2 -n-1)^2[/tex]

Доказано  , что при любом  целом  n  выражение (n-2)(n-1)n(n+1) +1   является   полным квадратом