Verified answer

Ответ:

последнее число может равняться 1  и не может быть равным 0 или 2

Пошаговое объяснение:

1) Единицу можно получить так ( каждую пару соседних чисел заменяем

на  разность большего и меньшего ) :

2 - 1 ; 4 - 3 ; 9 -8 ; 12 - 10 ⇒ после 4 шагов получили : 1 ; 1 ; 1 ; 2 ,   далее :        

1 -1 ; 2 -1 , после 6 шагов получили  0 ; 1   →  1  ( после 7 шагов )

2) среди данных чисел 3 нечетных ( 1 , 3 , 9 )  , сумма  всех этих чисел

равна 49 ( нечетное число ) , если при первом шаге мы заменим  2

четных  числа на их разность , то количество нечетных чисел среди оставшихся не изменится ( равно 3 )  , а значит и сумма оставшихся  чисел будет  нечетна , если мы заменим четное и нечетное число на их разность , то полученное число будет нечетным и значит в сумме оставшихся будет также  3 нечетных числа и опять сумма будет нечетна ,

а если мы заменим 2 нечетных числа на их разность , то полученное число будет четным , но в сумме оставшихся останется одно нечетное число и она снова будет нечетной , значит после первого шага мы получим 7 чисел , среди которых  3 нечетных или одно нечетное и сумма этих чисел будет нечетна , рассмотрим оба варианта :

a)  осталось одно нечетное , но тогда разность любого четного из оставшихся  и нечетного дает опять нечетное , а разность 2 четных чисел дает  четное , значит при всех последующих шагах мы будем  получать сумму чисел , среди которых одно нечетное , а значит и сами суммы будут нечетными числами  и последнее число также  будет нечетным

б) если останутся 3 нечетных , то ситуация будет такой же , как и  в начале наших действий и мы опять получим или 3 нечетных или одно нечетное , в любом из этих вариантов сумма оставшихся чисел будет нечетна , а значит и после 7 шага получится нечетное число

Мы доказали , что в результате может получиться только нечетное число , а значит 0 или 2 получится не может