Отрезки АК, ВМ, СМ и DK - биссектрисы углов параллелограмма ABCD. Отрезки ВМ и АК пересекаются в точке N, а отрезки DK и СМ - в точке Р, при этом МК = 4. Найдите длину отрезка NP.

Объяснение:

Докажем , что АВСD- прямоугольник. Для этого нужно доказать , что а)противоположные стороны параллельны и б)углы прямые.

а)Обозначим углы как показано на чертеже. Учтем , что противоположные углы в параллелограмме равны , а значит равны их половины. Тогда ∠4=∠3 как накрест лежащие при ВС║АD , МС-секущая .Значит АК║МС , тк соответственные углы ∠2=∠3 при АD-секущей ⇒ NK║MP/

Аналогично NM║KP.

Значит четырехугольник  MNKP-параллелограмм по определению.

б) В параллелограмме сумма углов прилежащих к одной стороне равна 180°. Поэтому в параллелограмме  ABCD сумма половин углов ∠1+∠6=90°⇒ на третий угол в треугольниках ΔАВN и  ΔCВH остается 180°-90 ° =90° ⇒  углы ∠MNK=∠MPK=90°. Поэтому на остальные два равных угла параллелограмма MNKP остается (360°-180°):2=90°.

Получили в параллелограмме MNKP все углы прямые⇒MNKP-прямоугольник.

По свойству диагоналей прямоугольника NP=МК=6 ед.