В данном случае «наверх» — это наречие. Здесь оно отвечает на вопрос «КУДА?», не имеет поясняющего слова – значит, пишется слитно.

На верх — существительное с предлогом, между ними можно вставить какое-либо прилагательное, поэтому пишется раздельно. Также оно может в предложении стоять вместе с пояснительным словом (Она решила не взбираться на самый верх этой горы). <— это не подходит.