Обозначим сумму буквой с, а слагаемые буквами а и b. Заметим, что ав=-1, действительно (2+√5)*(2-√5)=4-5=-1 и корень кубический из этого числа тоже равен -1. Кроме того , заметим, что а^3 +b^3=4 Воспользуемся тождеством (a+b)^3=a^3+b^3+3ab*(a+b) Учитывая обозначения, и, замеченные свойства слагаемых, получим: с^3=4-3c c^3-1=3-3c (c-1)*(c^2+c+1)=-3*(c-1) Таким образом, видим, что с=1 - решение этого уравнения. Поделим обе части на с-1. Получим: c^2+c+0,25=-3,75 или (с+0,5)^2=-3,75 , что невозможно. Значит решение единственно, с=1. Искомая сумма равна 1.
8 votes Thanks 9
iosiffinikov
Если кто знает более "прямой" способ вычисления - напишите, пожалуйста!
Answers & Comments
Verified answer
Обозначим сумму буквой с, а слагаемые буквами а и b.Заметим, что ав=-1, действительно (2+√5)*(2-√5)=4-5=-1 и корень кубический из этого числа тоже равен -1. Кроме того , заметим, что а^3 +b^3=4
Воспользуемся тождеством (a+b)^3=a^3+b^3+3ab*(a+b)
Учитывая обозначения, и, замеченные свойства слагаемых, получим:
с^3=4-3c
c^3-1=3-3c
(c-1)*(c^2+c+1)=-3*(c-1)
Таким образом, видим, что с=1 - решение этого уравнения.
Поделим обе части на с-1.
Получим: c^2+c+0,25=-3,75 или (с+0,5)^2=-3,75 , что невозможно.
Значит решение единственно, с=1. Искомая сумма равна 1.