найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальное усл...

June 2022 1 11 Report

найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальное условие

Answers & Comments

Minsk00 Решить дифференциальное уравнение
(xy' - 1)ln(x) = 2y
xy' -1 = 2y/ln(x)
y' - 2y/(xln(x)) - 1/x = 0
Получили линейное дифференциальное уравнение
Решим методом Лагранжа
Решаем вначале уравнение
y' - 2y/(xln(x)) = 0
y' = 2y/(xln(x))
y'/y = 2/(xln(x))
dy/y = 2dx/(xln(x))
ln(y) = 2ln(ln(x)) + ln(C²)
y = Cln²(x)
Заменяем C на C(x) то есть решение дифференциального уравнения
y' - 2y/(xln(x)) - 1/x = 0 ищем в виде
y = C(x)ln²(x)
y' = С'(x)ln²(x) + 2C(x)ln(x)/x
Подставляем в дифференциальное уравнение
С'(x)ln²(x) + 2C(x)ln(x)/x - 2С(x)ln²(x)/(xln(x)) - 1/x = 0
С'(x)ln²(x) + 2C(x)ln(x)/x - 2С(x)ln(x)/x - 1/x = 0
С'(x)ln²(x) - 1/x = 0
С'(x)ln²(x) = 1/x
С'(x) = 1/(xln²(x))
dC(x) = dx/(xln^2(x))
Интегрируем обе части уравнения
С(x) = -1/ln(x) + C
Запишем общее решение дифференциального уравнения
y = (-1/ln(x) + C)ln²(x) = -ln(x) + Cln²(x)
Найдем частное решение при y(e)=0
y(e)=-ln(e) + Cln²(e) = -1 +C*1² = C - 1
C - 1 = 0
C = 1
Запишем частное решение дифференциального уравнения
y = ln²(x) - ln(x)

Ответ: y = ln²(x) - ln(x)

2 votes Thanks 2

Answers & Comments

Helpful Links

Helpful Social