решить дифференциальное уравнение. Created by Настьоныш. matematika-ru

решить дифференциальное уравнение...

June 2022 1 7 Report

решить дифференциальное уравнение

Answers & Comments

Minsk00 Решить дифференциальное уравнение
xy'+y =y²ln(x)
y' +y/x =y²xln(x)
Получили уравнение Бернулли которое приведем к линейному уравнению
y' +y/x =y²xln(x)
y'/y² +1/(yx) =xln(x)
Обозначим z =y^(-1) = 1/y
Тогда z' = -1/y²
-z' + z/x = xln(x)
z'- z/x = -xln(x)
Это уравнение является линейным относительно z
Решим методом Бернулли
Полагаем что z = u*v тогда z' =u'v + uv'
u'v + uv' - uv/x = -xln(x)
u'v + u(v' -v/x) = -xln(x)
Сначала решаем уравнение
v' -v/x = 0
v' = v/x
dv/v = dx/x
ln(v) =ln(x)
v = x
Теперь решаем уравнение
u'х + u*0 = -xln(x)
u' = -ln(x)
du = -ln(x)dx
Интегрируем обе части уравнения
u = - (xln(x) - x) + C = x - xln(x) + C
Итак общее решение уравнения
z =uv = x(x - xln(x) + C) = x^2(1 - ln(x)) + Cx
Находим переменную y
y = 1/z = 1/(x^2(1 - ln(x)) + Cx)
Ответ: y = 1/(x^2(1 - ln(x)) + Cx)

2 votes Thanks 1

Answers & Comments

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social