Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на конца...

au456 @au456

August 2022 1 47 Report

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости .

Answers & Comments

igorShap

Verified answer

$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{5^nx^n}{3^nn^4}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^n$

$\dfrac{1}{R}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{5^n}{3^nn^4}}=\dfrac{5}{3}\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{1}{n^4}}=\dfrac{5}{3}\\ \Rightarrow R=\dfrac{3}{5}$

А значит интервал сходимости $x\in(-\dfrac{3}{5};\dfrac{3}{5})$

Исследуем на концах:

$x=\dfrac{3}{5}\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\left(\dfrac{3}{5}\right)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^4}$ - сходится как обобщенный гармонический ряд с $k=4>1$

$x=-\dfrac{3}{5}\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\left(-\dfrac{3}{5}\right)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{1}{n^4}=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$

Заметим, что ряд из модулей $\sum\limits_{n=1}^\infty |b_n|=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^4}$ сходится (по доказанному ранее). А значит и ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{1}{n^4}$ сходится

А тогда исходный ряд сходится на $\left[-\dfrac{3}{5};\dfrac{3}{5}\right]$

3 votes Thanks 3

au456 Спасибр ! Уже пришлось вспомнить как это делается ))

Answers & Comments

Verified answer

sin 3x)x->2pi...

najdite ploshad treugolnikab2f743d3cb7fa52a22298ca07740dac4 62157

najti tochku i rasstoyanie

v treugolnike avs ugol a raven 40 gradusam treugolnik sluchajnym obrazom bros

sostavte uravneniya sleduyushih prevrashenij acitelen etilen etilovyj spirt a

maksimum ballov neuzheli nikto ne pomozhetsostavte uravneniya sleduyushih prevrash

8)^8 = sin^2(x)...

reshit neravenstvoef4c5a518c551fbd26e0b76e985dcbb2 72263

rasstavit zapyatye i obyasnit pochemu

g a k momentu nastupleniya ravnovesiya proreagirovalo 65 oksida azota

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social