интегрирую по частям

∫udv=uv-∫vdu

u=x+5; du=1

dv=(x-7)^2005*dx; v=(x-7)^2006/2006

тогда

F(x)=(x+5)(x-7)^2006/2006-∫((x-7)^2006/2006)dx=

=(x+5)(x-7)^2006/2006-(x-7)^2007/(2006*2007)+C

чтобы вычислить С, подставлю М

0=12*0-0+С; C=0

преобразую немного F(x), приводя все к общему знаменателю и вынося общий множитель

F(x)=(x-7)^2006((x+5)*2007-(x-7))/(2006*2007)=

=(x-7)^2006(2007x+10035-x+7)/(2006*2007)=

=(x-7)^2006(2006x+10042)/(2006*2007)=

=(x-7)^2006(1003x+5021)/(1003*2007)=

=(x-7)^2006(1003(x-7)+12042)/(1003*2007)=

=(x-7)^2007/2007+6(x-7)^2006/1003