нечётность, периодичность функции. 2) Асимптоты графика функции. 3) Нули функции...

August 2022 1 9 Report

Исслeдyйтe фyhкции no 5 пyнктaм
а)[tex]y= \sqrt{ x^{2} +a} , a>0[/tex]
б)[tex]y= \sqrt{ x^{2} - a} , a>0[/tex]
1) Область определения, непрерывность, четность/нечётность, периодичность функции.
2) Асимптоты графика функции.
3) Нули функции, интервалы знакопостоянства.
4) Возрастание, убывание и экстремумы функции.
5) Выпуклость, вогнутость и перегибы графика.

Answers & Comments

Artem112

Verified answer

$y= \sqrt{x^2+a} ,\ a>0$
1)
Область определения функции - все действительные числа, так как при а>0 под корнем находится положительное число, следовательно из него можно извлечь квадратный корень. График функции непрерывен на всей области определения. Так как для функции выполняется соотношения f(-x)=f(x), то она является четной функцией. Функция не имеет периода.
2)
$k_1= \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{x^2+a} }{ \sqrt{x^2} } =\lim_{x \to \infty} \sqrt{1+ \frac{a}{x^2} } =1 \\\ b_1=\lim_{x \to \infty} (y-k_1x)=\lim_{x \to \infty} ( \sqrt{x^2+a} -x)= \\\ =\lim_{x \to \infty} \frac{( \sqrt{x^2+a} -x)( \sqrt{x^2+a} +x)}{ \sqrt{x^2+a} +x} = \lim_{x \to \infty} \frac{a}{ \sqrt{x^2+a} +x} =0$
Значит, асимптотой является прямая y=x, а также симметричная ей прямая относительно оси ординат y=-x, так как функция четная
3)
$\sqrt{x^2+a} =0 \\\ x^2+a =0$
При а>0 это уравнение не имеет решений, значит нулей у функции нет. Так как квадратный корень принимает только неотрицательные значения, то функция на всей области определения положительна.
4)
$y'=( \sqrt{x^2+a} )'= \frac{1}{2 \sqrt{x^2+a}} \cdot 2x =\frac{x}{ \sqrt{x^2+a}}$
Производная равна нулю только в точке х=0 - это точка минимума, так как производная меняет свой знак с "-" на "+". Следовательно, при х<0, то есть при отрицательной производной, функция убывает, при х>0 - возрастает, так как производная больше нуля. Минимум функции находим как значение самой функции в точке минимума:
$y_{min}=y(x_{min})=y(0)= \sqrt{0^2+a} =\sqrt{a}$
5)
$y''=( \sqrt{x^2+a} )''=(\frac{x}{ \sqrt{x^2+a}} )'=\frac{x'\sqrt{x^2+a}-x(\sqrt{x^2+a})'}{x^2+a} = \\\ =\frac{\sqrt{x^2+a}- \frac{x^2}{ \sqrt{x^2+a}} }{x^2+a} = \frac{x^2+a-x^2} {(x^2+a)\sqrt{x^2+a}} =\frac{a} {(x^2+a)\sqrt{x^2+a}}$
Вторая производная при любых а>0 и х положительна, значит функция на всей области определения вогнута и у нее нет точек перегиба.

$y= \sqrt{x^2-a} ,\ a>0$
1)
$x^2-a \geq 0 \\\ (x- \sqrt{a} )(x+ \sqrt{a} ) \geq 0 \\\ x\in(-\infty; \sqrt{a} ]\cup[\sqrt{a};+\infty)$
Функция не является непрерывной, так как она не она не определена при $x\in(- \sqrt{a}; \sqrt{a} )$ . Так как для функции выполняется соотношения f(-x)=f(x), то она является четной функцией. Функция не имеет периода.
2)
$k_1= \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{x^2-a} }{ \sqrt{x^2} } =\lim_{x \to \infty} \sqrt{1- \frac{a}{x^2} } =1 \\\ b_1=\lim_{x \to \infty} (y-k_1x)=\lim_{x \to \infty} ( \sqrt{x^2-a} -x)= \\\ =\lim_{x \to \infty} \frac{( \sqrt{x^2-a} -x)( \sqrt{x^2-a} +x)}{ \sqrt{x^2-a} +x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-a}{ \sqrt{x^2-a} +x} =0$
Значит, асимптотой является прямая y=x, а также симметричная ей прямая относительно оси ординат y=-x, так как функция четная
3)
Нули функции:
$\sqrt{x^2-a} =0 \\\ x^2-a =0 \\\ x^2=a \\\ x=\pm a$
Так как квадратный корень принимает только неотрицательные значения, то функция в остальных точках области определения, то есть при $x\in(-\infty; \sqrt{a} )\cup(\sqrt{a};+\infty)$ положительна.
4)
$y'=( \sqrt{x^2-a} )'= \frac{1}{2 \sqrt{x^2-a}} \cdot 2x =\frac{x}{ \sqrt{x^2-a}}$
Производная равна нулю только в точке х=0, однако эта точка попадает в область определения функции только при а=0. В общем случае, при $x< \sqrt{a}$ , то есть при отрицательной производной, функция убывает, при $x> \sqrt{a}$ - возрастает, так как производная больше нуля. Точки минимума совпадают с нулями функции и соответственно сами минимумы равны нулю.
5)
$y''=( \sqrt{x^2-a} )''=(\frac{x}{ \sqrt{x^2-a}} )'=\frac{x'\sqrt{x^2-a}-x(\sqrt{x^2-a})'}{x^2-a} = \\\ =\frac{\sqrt{x^2-a}- \frac{x^2}{ \sqrt{x^2-a}} }{x^2-a} = \frac{x^2-a-x^2} {(x^2-a)\sqrt{x^2-a}} =\frac{-a} {(x^2-a)\sqrt{x^2-a}}$
Вторая производная при любых а>0 и х отрицательна, значит функция на всей области определения выпукла (в знаменателе стоит выражение, которое в соответствии с областью определения не может быть отрицательным числом), точек перегиба у функции нет.

2 votes Thanks 1

Mary230999 Извините за вопрос, но что значит lim
И большое вам спасибо за помощь

Artem112 lim это предел

Mary230999 А черта ' и ''

Artem112 Первая и вторая производная

Mary230999 спасибо

Answers & Comments

Verified answer

pomogite v reshenii geneticheskoj zadachi

tex kak dalshe dokazyvat i net li u menya oshibok v etom etape resheniya

tex]...

s kakimi stranami granichit zapadnaya sibir krome kazahstana

pomogite reshit 2 zadaniya s podrobnym resheniem pozhalujsta v 912 nuzhno rassmotr

najdite znachenie vyrazheniyad1bc41107d756db853b9e46342a52836 63352

vydelit polnyj kvadrat dlya kazhdoj neizvestnoj chtoby mozhno bylo postroit okruzhn

postroit grafik variacionnoj pryamoj esli est tablica v ekselei nuzhno chtoby

a11...

issledujte dannye posledovatelnostiispolzuya predel funkcii pochemu tak rasp

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social