Ответ:

1.

Объяснение:

Требуется найти          [tex]\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{1^1+2^2+3^3+\ldots + n^n}{n^n}.[/tex]

Воспользуемся дискретным аналогом правила Лопиталя - теоремой Штольца:

    если последовательность [tex]\{b_n\}[/tex] начиная с некоторого номера          

    монотонно стремится к [tex]+\infty,[/tex] причем существует (конечный или  

    бесконечный) предел

                                [tex]\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n},[/tex]

    то существует предел

                                       [tex]\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{a_n}{b_n},[/tex]

    и эти пределы равны.

В нашем случае понятно, что брать в качестве  [tex]a_n[/tex]  и [tex]b_n,[/tex] выполнение условий теоремы Штольца очевидно, поэтому переходим к вычислениям:

        [tex]\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}-n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{1-\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}}=[/tex]

              [tex]=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{1}{1-\frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\cdot (n+1)}}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{1}{1-\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot (n+1)}}=1.[/tex]

Мы воспользовались тем, что [tex]\lim\limits_{n\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e,[/tex] а [tex]\lim\limits_{n\to \infty}(n+1)=\infty[/tex] (хотя достаточно было бы заметить, что [tex]\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n > 1).[/tex]

Отсюда по теореме Штольца исходный предел также равен 1.