Нужна помощь с уравнениями!!!. Created by lenivs. algebra-ru

7. Решите уравнение Решение. Определим нули подмодульных выражений:Раскроем данные модули на трех участках и решим полученные уравнения на этих участках:Если то и ТогдаВ интервал корень не входит.Вывод: нет корней.Если то и ТогдаВ интервал корень входит.Вывод: Если то и ТогдаВ интервал корень не входит.Вывод: нет корней.Ответ: 9. Решите уравнение Решение. Определим нули подмодульных выражений:Раскроем данные модули на трех участках и решим полученные уравнения на этих участках:Если то и ТогдаОценим корни:Значит, — подходит.Значит, — не подходит.Вывод: Если то и ТогдаОценим корни:Значит, — подходит.Значит, — не подходит.Вывод: Если то и ТогдаНет действительных корней.Ответ: 10. Решите уравнение Решение. Определим нули подмодульных выражений:Раскроем данные модули на трех участках и решим полученные уравнения на этих участках:Если то и Тогда — правда.Вывод: Если то и Тогда — ложь.Вывод: нет корней.Если то и ТогдаОДЗ: — ложь.Вывод: нет корней.Ответ:

Нужна помощь с уравнениями!!!...

lenivs @lenivs

July 2022 1 9 Report

Нужна помощь с уравнениями!!!

Answers & Comments

nikebod313

7. Решите уравнение $|x-3|+2|x+1|=4.$

Решение. Определим нули подмодульных выражений:

$1) ~ x-3 = 0; ~~~ x=3;\\2) ~ x+1 = 0; ~~~ x=-1.$

Раскроем данные модули на трех участках и решим полученные уравнения на этих участках:

$\text{I}) ~ x < -1 \colon$

Если $x < -1,$ то $|x-3| =3-x$ и $|x+1| = -x-1.$ Тогда

$3 - x + 2(-x-1) = 4;$

$3 - x - 2x - 2 = 4;$

$-3x = 3;$

$x = -1.$

В интервал $x < -1$ корень $x = -1$ не входит.

Вывод: нет корней.

$\text{II}) ~ {-}1 \leq x \leq 3 \colon$

Если ${-}1 \leq x \leq 3,$ то $|x-3| =3-x$ и $|x+1| = x+1.$ Тогда

$3 - x + 2(x+1) = 4;$

$3 - x + 2x + 2 = 4;$

$x = -1.$

В интервал ${-}1 \leq x \leq 3$ корень $x = -1$ входит.

Вывод: $x = -1.$

$\text{III}) ~ x > 3 \colon$

Если $x >3,$ то $|x-3| =x-3$ и $|x+1| = x+1.$ Тогда

$x-3 + 2(x+1) = 4;$

$x - 3 + 2x + 2 = 4;$

$3x = 5;$

$x = \dfrac{5}{3}.$

В интервал $x >3$ корень $x = \dfrac{5}{3}$ не входит.

Вывод: нет корней.

Ответ: $x = -1.$

9. Решите уравнение $\dfrac{1}{|x-3|} - \dfrac{1}{|x-5|} = \dfrac{1}{2}.$

Решение. Определим нули подмодульных выражений:

$1) ~ x-3 = 0; ~~~ x=3;\\2) ~ x-5 = 0; ~~~ x=5.$

Раскроем данные модули на трех участках и решим полученные уравнения на этих участках:

$\text{I}) ~ x < 3 \colon$

Если $x < 3,$ то $|x-3| =3-x$ и $|x-5| = 5-x.$ Тогда

$\dfrac{1}{3-x} - \dfrac{1}{5-x} = \dfrac{1}{2} ~~~ | \cdot 2(3-x)(5-x)$

$2(5-x) - 2(3-x) = (3-x)(5-x);$

$10 - 2x - 6 + 2x = x^{2} - 8x + 15;$

$x^{2} - 8x + 11 = 0;$

$D = (-8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 64 - 44 = 20$

$\sqrt{D} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}.$

$x_{1,2} = \dfrac{8 \pm 2\sqrt{5}}{2} = \dfrac{2(4\pm \sqrt{5})}{2} = 4 \pm \sqrt{5}.$

Оценим корни:

$1) ~ 4 - \sqrt{5} ~ \vee ~ 3 ~~~ |{-}4;\\{-}\sqrt{5} ~ \vee ~ {-}1;\\{-}\sqrt{5} < {-}\sqrt{1}.$

Значит, $4 - \sqrt{5} < 3$ — подходит.

$2) ~ 4 + \sqrt{5} ~ \vee ~ 3 ~~~ |{-}4;\\ \sqrt{5} ~ \vee ~ {-}1;\\ \sqrt{5} > {-}\sqrt{1}.$

Значит, $4 + \sqrt{5} > 3$ — не подходит.

Вывод: $x = 4 - \sqrt{5}.$

$\text{II}) ~ 3 < x < 5 \colon$

Если $3 < x < 5,$ то $|x-3| =x-3$ и $|x-5| = 5-x.$ Тогда

$\dfrac{1}{x-3} - \dfrac{1}{5-x} = \dfrac{1}{2} ~~~ | \cdot 2(x-3)(5-x)$

$2(5-x) - 2(x-3) = (x-3)(5-x);$

$10 - 2x - 2x + 6 = -x^{2} + 8x - 15;$

$x^{2} - 12x + 31 = 0;$

$D = (-12)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 31 = 144 - 124 = 20$

$\sqrt{D} = 2\sqrt{5}.$

$x_{1,2} = \dfrac{12 \pm 2\sqrt{5}}{2} = \dfrac{2(6\pm \sqrt{5})}{2} = 6 \pm \sqrt{5}.$

Оценим корни:

$1) ~ 3 ~ \vee ~ 6 - \sqrt{5} ~ \vee ~ 5 ~~~ |{-}6\\{-}3 ~ \vee ~ {-}\sqrt{5} ~ \vee ~ {-}1\\{-}\sqrt{9} < {-}\sqrt{5} < {-}\sqrt{1}$

Значит, $3 < 6 - \sqrt{5} < 5$ — подходит.

$2) ~ 3 ~ \vee ~ 6 + \sqrt{5} ~ \vee ~ 5 ~~~ |{-}6\\{-}3 ~ \vee ~ \sqrt{5} ~ \vee ~ {-}1\\\left \{ {\bigg{\sqrt{5} > {-3},} \atop \bigg{\sqrt{5} > {-1}.}} \right.$