Verified answer

Ответ: lim(x→∞) (1-cos(8x))/(1-cos(4x)) ∈ [0;4].

Объяснение:

lim(x→∞) (1-cos(8x))/(1-cos(4x))

(1-cos(8x))/(1-cos(4x))=

=(sin²(4x)+cos²(4x)-cos²(4x)+sin²(4x))/(sin²(2x)+cos²(2x)-cos²(2x)+sin²(2x))=

=2*sin²(4x)/(2*sin²(2x)=(2*sin(2x)*cos(2x))²/sin²(2x)=

4*sin²(2x)*cos²(2x)/sin²(2x)=4*cos²(2x).    ⇒

lim(x→∞) (4*cos²(2x))

|cos(2x)|≤1   ⇒  

0≤cos²(2x)≤1    |×4

0≤4*cos²(2x)≤4   ⇒

lim(x→∞) (4*cos²(2x)) ∈ [0;4].