Verified answer

sin (x/2)sin (3x/2)cos x+1/4 cos 3x=0

формула умножения синусов, формула тройного угла

(cos(3x/2-x/2)-cos(3x/2+x/2))/2 *cos x+1/4*(4*cos^3 x-3 cos x)=0

упрощение

(cos x - cos (2x)) cos x +1/2cos^3 x - 3/2 cos x=0

формула двойного угла, упрощение

cos^2 x -cos x*(2cos^2 x-1)+1/2cos^3 x -3/2 cos x=0

упрощение

cos^2 x-2cos^3 x+cos x +1/2cos^3 x -3/2 cos x=0

упрощение

-3/2 cos^3 x +cos^2 x -1/2 cos x=0

вынос общего множителя

cos x (3cos^2 x -cos x +1)=0

откуда два уравнения

первое

cos x=0

x=pi/2+2*pi*k, k є Z

или второе

3cos^2x-cos x+1=0

cos x=t

3t^2-t+1=0

D=1-12=-11<0 - решений нет