Ответ:

S = 6√3(ед)²

Обьяснение:

Дан треугольник с вершинами O(0;2:0), A(2;0;4), B(4;4;2). Найдите площадь данного треугольника.

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀Решение

Длина отрезка в пространстве находится по формуле:

[tex] \displaystyle \boxed{\tt \sqrt{(x_2 - x_1) {}^{2} + (y_2 - y_1) {}^{2} + (z_2 - z_1) {}^{2} }}\\ [/tex]

Найдем длину АВ:[tex] \displaystyle A(\stackrel{x_1}{2} ~ ; ~ \stackrel{y_1}{0}~ ; ~ \stackrel{z_1}{4}), \: B(\stackrel{x_2}{4} ~ ; ~ \stackrel{y_2}{4}~ ; ~ \stackrel{z_2}{2})\\[/tex]

[tex] \displaystyle \rm{AB} = \sqrt{(4 - 2) {}^{2} + {(4 - 0)}^{2} + {(2 - 4)}^{2} } = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} \\ [/tex]

Найдем длину АО:[tex] \displaystyle A(\stackrel{x_1}{2} ~ ; ~ \stackrel{y_1}{0}~ ; ~ \stackrel{z_1}{4}), \: O(\stackrel{x_2}{0} ~ ; ~ \stackrel{y_2}{2}~ ; ~ \stackrel{z_2}{0})\\[/tex]

[tex] \displaystyle \rm{AO} = \sqrt{ {(0 - 2)}^{2} + {(2 - 0)}^{2} + {(0 - 4)}^{2} } = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} \\ [/tex]

Найдем длину ВО:[tex] \displaystyle В(\stackrel{x_1}{4} ~ ; ~ \stackrel{y_1}{4}~ ; ~ \stackrel{z_1}{2}), \: О(\stackrel{x_2}{0} ~ ; ~ \stackrel{y_2}{2}~ ; ~ \stackrel{z_2}{0})\\[/tex]

[tex] \displaystyle \rm{BO} = \sqrt{ {(0 - 4)}^{2} + (2 - 4) {}^{2} {(0 - 2)}^{2} } = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} \\ [/tex]

Т.к. все длины равны, то ∆АВО - равносторонний. Площадь находится по формуле: [tex]\displaystyle \boxed{\tt S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}\\[/tex], где а - сторона.

[tex] \displaystyle \boldsymbol{ S_{\Delta ABO} = \frac{( \sqrt{24} )^2\sqrt{3}}{4 } = \frac{ \not24 \sqrt{3} }{ \not4} = 6 \sqrt{3}(ed) {}^{2}} \\[/tex]

#SPJ1