Ответ:

3

Пошаговое объяснение:

1) Данная функция y=(4-x) · e^(x+4) представляет собой произведение линейной  функции (4-x) и показательной функций e^(x+4), которые определены на всей действительной оси, то есть в ответе  может быть любое значение х от -∞ до + ∞.

Это значит, что обе функции дифференцируемы, то есть для каждой из них в любой точке существует производная.  

2) Перед тем, как брать производную, иногда лучше сделать умножение, то есть раскрыть скобки.

Раскрываем скобки:

у = (4-x) · e^(x+4) = 4 · e^(x+4) - х · e^(x+4)

3) Берём производную:

у' = [4 · e^(x+4) - х · e^(x+4)]'

Теорема 1:

Производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна соответствующей сумме производных этих функций.

Речь идёт, конечно, об алгебраической сумме. Поэтому, если разность, как у нас, то это не должно смущать.

Получаем:

у' = [4 · e^(x+4) - х · e^(x+4)]' = [4 · e^(x+4)]' - [х · e^(x+4)]'

4) В первой скобке [4 · e^(x+4)]' первый сомножитель 4 - это константа, или постоянный множитель.

Теорема 2.

Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Второй сомножитель e^(x+4) необходимо рассмотреть более подробно. Если бы это было у= e^х, то вопросов бы не было, так как у'=(e^х)'= e^х - это стандартное табличное значение производной. Но если вместо х встречается какое-либо другое значение (как в нашем примере х+4), то это новое значение надо обозначить буквой u и применить формулу для сложной функции.    

Теорема 3.

Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по х.

То есть: если у= e^u, то у '= (e^u)' = e^u · u'

Что получается со вторым множителем:

[4 · e^(x+4)]' = 4 · [e^(x+4)]' (вынесли константу за знак производной) =

= 4 · [e^u]' (заменили х+4 на u) = 4 · e^(х+4) · (х+4)' (применили Теорему 3) = 4 · e^(х+4) · (1+0) (применили Теорему 1, далее - Теорему 4 и Теорему 5, тексты этих теорем смотри ниже) = 4 · e^(х+4).

Теорема 4.

Производная функции у = x^n равна n· х^(n-1).

То есть (х)' = 1 · х ^ (1-1) = х^0 = 1

Теорема 5.

Производная постоянной равна нулю.

То есть (4)' = 0

5) Мы расписали первую скобку:  

у' = [4 · e^(x+4) - х · e^(x+4)]' = [4 · e^(x+4)]' - [х · e^(x+4)]'

Переходим ко второй скобке:

у' = [4 · e^(x+4) - х · e^(x+4)]' = [4 · e^(x+4)]' - [х · e^(x+4)]'

Во второй скобке - произведение.

Теорема 6.

Производная от произведения двух дифференцируемых функций u и v равна произведению производной первой функции на вторую функцию плюс произведение производной второй функции на первую функцию, то есть:

если у = u · v, то у' = u' · v + v' · u.

[х · e^(x+4)]' = х' · e^(x+4) + [e^(x+4)]' · х = 1 · e^(x+4) + e^(х+4) (решение и комментарий см. п. 4) · х = e^(x+4) + х · e^(x+4)  

6) у' = [4 · e^(x+4) - х · e^(x+4)]' = [4 · e^(x+4)]' - [х · e^(x+4)]' =

=  4 · e^(х+4) - [e^(x+4) + х · e^(x+4) =

= 4 · e^(х+4)  - e^(x+4)  - х · e^(x+4) = (приводим подобные)

= 3 · e^(х+4)  - х · e^(x+4) = (выносим общий множитель за скобки)    

= e^(x+4) · (3-х)

Таким образом:

у' = e^(x+4) · (3-х)

7) В точке экстремума производная равна нулю:

у' = e^(x+4) · (3-х) = 0

Произведение равно нулю, когда один из сомножителей равен нулю. А так как e^(x+4) ≠ 0 ни при каких значениях х, то

3-х=0

х = 3

Ответ: х = 3.

ПРИМЕЧАНИЕ

Найти точку - значит, найти х.

В этом случае у искать не надо.