ОЧЕНЬ СЛОЖНАЯ :Какие значения можетОЧЕНЬ СЛОЖНАЯ :Какие значения может принимать...

October 2021 1 9 Report

ОЧЕНЬ СЛОЖНАЯ :Какие значения можетОЧЕНЬ СЛОЖНАЯ :Какие значения может принимать sin ( a+ b + g)если при этих a,b ,g многочлен от x : x^4 + 2^(3sin a) x^2+x(под корнем; 2^(1-sin b) - cosg ) + sin^2b+ cos^2g является квадратом некоторого многочлена относительно х? Задача с факультета ВМК.Я ее не смогла решить. ОЧЕНЬ СЛОЖНАЯ

Answers & Comments

Матов

Verified answer

Рассмотрим сам многочлен в общим виде , для этого откинем $sinb;sina;cosg$
$x^4+ax^2+bx+c$ по условию он должен быть, квадратом некого многочлена.
Заметим что в этом многочлене есть $bx$ , а он не возможен при квадрате , и заметим то что старшая степень равна $4$ .
Тогда наш многочлен есть двучлен  вида $(x^2+t)^2=x^4+2tx^2+t^2$ . Что есть частный случаи многочлена.
Тогда запишем    $x^4+2^{3sina}*x^2+x\sqrt{2^{1-sinb}-cosg}+sin^2b+cos^2g=(x^2+a)^2$
То есть
$2^(1-sinb)=cosg\\ t^2=sin^2b+cos^2g$
Заметим что $sin^2b+cos^2g \neq 1$ так как оно противоречит условию $2^(1-sinb)=cosg$ что не имеет решений.
$t^2=sin^2b+cos^2g$
Рассмотрим функцию $f(a;b)=sin^2b+cos^2g$ очевидно $max=2\\ x=\frac{\pi}{2};y=-\pi$ .
То есть наше значение $t \leq \sqrt{2}$ . Что согласуется с значение
$8^{sina} \leq 8\\ sina \leq 1$ .
Заметим что при    $(x^2+\sqrt{2})^2=x^2+2\sqrt{2}+2$
Выше было сказано при каких значениях это справедливо , заметим что
$8^{sina}=2\sqrt{2}\\ sina=\frac{1}{2}\\ a=\frac{\pi}{6}$
Тогда $sin(a+b+g)=sin(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}-\pi)=sin(\frac{-2\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
Так же с обратным значением оно равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Ответ $+-\frac{\sqrt{3}}{2}$
Сам многочлен $(x^2+\sqrt{2})^2$

3 votes Thanks 2