Verified answer

Ответ: 8 см; 4√3 см

Объяснение:    

   Пусть в ∆ АВС угол В=90°, АВ=4, ВН - высота, АН - проекция АВ на гипотенузу, СН - проекция ВС на гипотенузу.

    Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на треугольники, подобные друг другу и исходному.

∆ АВН~∆АВС.

АН:АВ=АВ:АС

Примем АН=х.=>

х:4=4:(х+6) , =>  квадратное уравнение х²+6х-16.

Решив его найдем х₁=2, х₁=-8( не удовлетворяет условию, т.к. длина отрицательной быть не может).

Следовательно, гипотенуза АС=АН+НС=2+6=8 см.

ВС можно теперь вычислить по т.Пифагора или

аналогично предыдущему из подобия ∆ НВС и ∆ АВС

 ВС:АС=НС:ВС

ВС:8=6:ВС=>

ВС²=8•6

ВС=4√3

———

Данным решением доказано свойство катета, которое полезно запомнить:     Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.