Verified answer

Уравнение имеет решение, если sinx - cosx ≥ 0; √2sin(x - π/4) ≥ 0; sin(x - π/4) ≥ 0; 2πn ≤ x - π/4 ≤ π + 2πn, n∈Z; π/4 + 2πn ≤ x ≤ 5π/4 + 2πn, n∈Z.

1,5 + cos²x = (sinx - cosx)²;

1,5 + cos²x = sin²x + cos²x - 2sinxcosx;

1,5 + cos²x = 1 - 2sinxcosx;

cos²x + 2sinxcosx +0,5 = 0;

2cos²x + 4sinxcosx + 1 = 0| : sin²x;

2ctg²x + 4ctgx + 1/sin²x = 0;

2ctg²x + 4ctgx + 1 + ctg²x = 0;

3ctg²x + 4ctgx + 1 = 0;

Замена: ctgx = t/3

t² + 4t + 3 = 0;

t₁ = -1; t₂ = -3

Обратная замена:

ctgx = -1     или           ctgx = -1/3

x₁ = 3π/4 + πn, n∈Z;   x₂ = arcсtg(-1/3) + πn, n∈Z.

Данное уравнение удовлетворяют значения х₁ = 3π/4 + 2πn, n∈Z; x₂ = arcсtg(-1/3) + 2πn = -arcсtg(1/3) + π(2n+1), n∈Z.

Ответ: 3π/4 + 2πn, n∈Z; -arcctg(1/3) + π(2n + 1), n∈Z.