Отрезок АB является диаметром круга k, а Е является точкой внутри круга k. Прямая АЕ режет круг k, кроме точки А, так же в точки С. Прямая ВЕ разрезает круг А кроме точки В еще и в точки D.
Докажите: Величины AC ּ AE + BD ּ BE не зависят от положения точки Е.
Докажите: Величины AC ּ AE + BD ּ BE не зависят от положения точки Е.
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
Соединим точки A и D, D и C, С и B. Пусть AC∩BD=E.
∠ADB и ∠ACB вписанные и опирающиеся на хорду AB. Тогда они равны. Т.к. AB - диаметр, ∠ADB = ∠ACB = 90°.
Применив т. об отрезках пересекающихся хорд к хордам AC и DB, получим AE*EC=DE*EB.
Обозначим DE=a, EB=b, AE=c → с*EC=a*b → EC=a*b/c
AC ּ AE + BD ּ BE = (AE+EC)*AE+(BE+ED)*BE=c²+a*b+b²+a*b=c²+2ab+b²=(c²-a²)+(a+b)²=[по т. Пифагора для ΔADE (c²-a²)=AD². DB²=(DE+EB)²=(a+b)²]=AD²+DB²=[по т. Пифагора для ΔADB]=AB²
Т.к. AB - диаметр окружности, то значение AC ּ AE + BD ּ BE не зависит от положения точки E.