Начнем с преобразования углов:
sin(30°+x) = sin(30°)cos(x) + cos(30°)sin(x) = (1/2)cos(x) + (sqrt(3)/2)sin(x)
sin(x+210°) = sin(210°)cos(x) + cos(210°)sin(x) = (-sqrt(3)/2)cos(x) + (1/2)sin(x)
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
(1/2)cos(x) + (sqrt(3)/2)sin(x) - (-sqrt(3)/2)cos(x) - (1/2)sin(x) = 2sin495°
Упростим выражение, используя тригонометрические формулы:
(cos(x) + sin(x))/2 = 2sin495°
cos(x) + sin(x) = 4sin495°
Теперь выразим sin(x) через cos(x), используя тригонометрическую формулу sin²(x) + cos²(x) = 1:
sin(x) = sqrt(1 - cos²(x))
Подставим это выражение в предыдущее уравнение:
cos(x) + sqrt(1 - cos²(x)) = 4sin495°
Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
cos²(x) + 2cos(x)sqrt(1 - cos²(x)) + (1 - cos²(x)) = 16sin²495°
Переносим все слагаемые с cos(x) в одну сторону и возводим обе части в квадрат еще раз:
cos⁴(x) - 14cos²(x) + 1 = 256sin⁴495°
Заметим, что sin495° = -sin15° и cos495° = -cos15°. Подставим это в выражение и заменим cos²(15°) на 1 - sin²(15°):
cos⁴(x) - 14cos²(x) + 1 = 256sin⁴15°
1 - 14cos²(x) + cos⁴(x) = 256(1 - cos²(15°))²
cos⁴(x) - 14cos²(x) + cos²(15°) = 0
Решаем полученное квадратное уравнение относительно cos²(x):
cos²(x) = (14 ± sqrt(184))/2 = 7 ± sqrt(46)
Так как -1 ≤ cos(x) ≤ 1, то:
cos(x) = sqrt(7 - sqrt(46)) или cos(x) = -sqrt(7 + sqrt(46))
Теперь найдем соответствующее значение sin(x) для каждого из этих значений cos(x), используя формулу sin²(x) + cos²(x) = 1:
sin(x) = sqrt(1 - 7 + sqrt(46)) = sqrt(sqrt(46) - 6)
или
sin(x) = sqrt(1 - 7 - sqrt(46)) = -sqrt(sqrt(46) + 6)
Таким образом, уравнение имеет два решения:
x₁ = arcsin(sqrt(sqrt(46) - 6)) - 30° + 360°k, где k - любое целое число
x₂ = -arcsin(sqrt(sqrt(46) + 6)) + 150° + 360°k, где k - любое целое число
Так как арксинус имеет значения только в интервале от -90° до 90°, то:
x₁ принадлежит интервалу от -60° до 60°
x₂ принадлежит интервалу от 120° до 240°
Таким образом, решениями уравнения являются углы x₁ и x₂, определенные выше с учетом периодичности тригонометрических функций.
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Начнем с преобразования углов:
sin(30°+x) = sin(30°)cos(x) + cos(30°)sin(x) = (1/2)cos(x) + (sqrt(3)/2)sin(x)
sin(x+210°) = sin(210°)cos(x) + cos(210°)sin(x) = (-sqrt(3)/2)cos(x) + (1/2)sin(x)
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
(1/2)cos(x) + (sqrt(3)/2)sin(x) - (-sqrt(3)/2)cos(x) - (1/2)sin(x) = 2sin495°
Упростим выражение, используя тригонометрические формулы:
(cos(x) + sin(x))/2 = 2sin495°
cos(x) + sin(x) = 4sin495°
Теперь выразим sin(x) через cos(x), используя тригонометрическую формулу sin²(x) + cos²(x) = 1:
sin(x) = sqrt(1 - cos²(x))
Подставим это выражение в предыдущее уравнение:
cos(x) + sqrt(1 - cos²(x)) = 4sin495°
Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
cos²(x) + 2cos(x)sqrt(1 - cos²(x)) + (1 - cos²(x)) = 16sin²495°
Переносим все слагаемые с cos(x) в одну сторону и возводим обе части в квадрат еще раз:
cos⁴(x) - 14cos²(x) + 1 = 256sin⁴495°
Заметим, что sin495° = -sin15° и cos495° = -cos15°. Подставим это в выражение и заменим cos²(15°) на 1 - sin²(15°):
cos⁴(x) - 14cos²(x) + 1 = 256sin⁴15°
1 - 14cos²(x) + cos⁴(x) = 256(1 - cos²(15°))²
cos⁴(x) - 14cos²(x) + cos²(15°) = 0
Решаем полученное квадратное уравнение относительно cos²(x):
cos²(x) = (14 ± sqrt(184))/2 = 7 ± sqrt(46)
Так как -1 ≤ cos(x) ≤ 1, то:
cos(x) = sqrt(7 - sqrt(46)) или cos(x) = -sqrt(7 + sqrt(46))
Теперь найдем соответствующее значение sin(x) для каждого из этих значений cos(x), используя формулу sin²(x) + cos²(x) = 1:
sin(x) = sqrt(1 - cos²(x))
sin(x) = sqrt(1 - 7 + sqrt(46)) = sqrt(sqrt(46) - 6)
или
sin(x) = sqrt(1 - 7 - sqrt(46)) = -sqrt(sqrt(46) + 6)
Таким образом, уравнение имеет два решения:
x₁ = arcsin(sqrt(sqrt(46) - 6)) - 30° + 360°k, где k - любое целое число
x₂ = -arcsin(sqrt(sqrt(46) + 6)) + 150° + 360°k, где k - любое целое число
Так как арксинус имеет значения только в интервале от -90° до 90°, то:
x₁ принадлежит интервалу от -60° до 60°
x₂ принадлежит интервалу от 120° до 240°
Таким образом, решениями уравнения являются углы x₁ и x₂, определенные выше с учетом периодичности тригонометрических функций.