Площадь трапеции ABCD равна 675. Диагонали AC и BD пересекаются в точке О. Отрезки, соединяющие середину Р основания AD с вершинами В и С, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции вдвое меньше другого.
Answers & Comments
1) У треугольников АВР, РВС и РСД одинаковые основания и высоты, т.е. площади их равны между собой и равны площади трапеции/3=225.
2) Для параллелограммов АВСР и ВСДР т.М и т.N - точки пересечения диагоналей, т.е. ВМ=МР и CN=NP. Тогда МN - средняя линия треугольника ВСР, и МN = ВC/2.
3) S(ВСР)=ВС*h/2=225; S(РNМ)=МN*h/2*1/2=ВС/2*h/2*1/2=56,25; S(ВСNМ)= S(ВСР)- S(РNМ). Тогда S(ВСNМ)=168,75
4) В трапеции ВСNМ: диагонали любой трапеции разбивают ее на 4 треугольника, из которых 2 (боковых) равны между собой, а 2 (при основаниях) подобные. Т.к. МN=2ВС, то к-т подобия для треуг-в ОВС и ОМN равен 2:1, значит их площади относятся как 2^2:1^1, т.е 4:1. Пусть S(МОN)=х, тогда S(OBC)=4х.
Рассмотрим треугольники ВОС и ОСN. Высота проведенная из вершины С одинаковая; отношение ВО:ОN=2:1, то S(BOC):S(CON)=2:1. Тогда S(CON)=2х. Тогда S(ВОМ)=2х
Составляем уравнение: S(ВCNM)=х+2х+2х+4х=168,75
Отсюда х=18,75